Variations fonction 1ère

Variations fonction 1ère
Message de liliebrt posté le 06-03-2022 à 17:08:19 (S | E | F)
Bonjour, est ce que quelqu’un pourrait corriger ce que j’ai fait svp ?

Exercice 1 :
f est la fonction définir sur l’intervalle [0;5] par:
f(t)=10(1 - exp(-0,3t))

Partie A
a) calculer f(1)
b) étudier le sens de variation de la fonction f sur l’intervalle [0;5]
c) l’équation f(t)=10 admet-elle des solutions ? Justifier
d ) On admet que l’équation f(t)=5 admet une unique solution sur l’intervalle [0;5]. Tabuler la fonction f avec la calculatrice, puis donner un encadrement d’amplitude 0,01

J’ai fait ;
a) f(1)=10(1-exp(-0,3*1)=10-10exp(-0,3)
b) f’(t)=3exp(-0,3t)

3exp(-0,3t) > 0 donc f’(t) > 0
Sur [0;5] la dérivée est positive donc la fonction f est croissante.

c) (Sur cette question je ne suis pas sure du tout)
moi j’ai fait ça:
Sur [0;5] f est croissante
De plus, f(5)≈7,77
Donc f(t)0. Donc il n’y a pas de solutions

d) f(t)=5 quand
2,31 < t < 2,32

Partie B
Un incendie a ravagé, pendant t jours, (t ∈ [0;5]), une forêt de 50ha dans une région. La superficie, en ha, brûlée par les flammes au bout de t jours, est modélisée par la fonction f étudiée en partie A.
a) quelle est la superficie de forêt brûlée après une journée ? Arrondir au dixième.
b) un journaliste affirme : « 20 % de la superficie de la forêt a été ravagé par un incendie » a-t-il raison ?
c) au bout de combien de jours 5 ha de cette forêt ont-ils été brûlés?

J’ai fait
a) f(1)≈2,6
Après une journée 2,6 ha de forêt ont brûlé
b) 0,2*50=10
Or f(t)=10 n’admet pas de solution. Donc le journaliste a tort
c) f(t)=5 quand t ≈ 2,32
5 ha de la forêt ont brûlé au bout de 2,32 jours (si on veut un nombre de jours entiers : au bout de trois jours)

Exercice 2
chaque mois une entreprise peut extraire entre 500 et 3000 tonnes de minerai. Le résultat de l’exploitation, en centaines de milliers d’euros, et modélisée par la fonction f définie sur l’intervalle [0,5;3] par :
f(x)=(6x-4)exp(-x+2)+2x

1. g est une fonction définie sur l’intervalle [0,5;3] par :
g(x)=(10-6x)exp(-x+2)+2

a) déterminer g’(x) pour tout nombre réel x de l’intervalle [0,5;3]
b) dresser le tableau de variation de la fonction g
c) calculer g(2)
d) en déduire le signe de g(x) sur [0,5;3]

2. a) déterminer le sens de variation de la fonction f sur l’intervalle [0,5;3]
b) En déduire la quantité de minerai à extraire pour obtenir un résultat d’exploitation maximum.

J’ai fait

1. a)
g’(x)= (6x-16)exp(-x+2)

b) exp(-x+2) > 0
Le signe de la dérivée dépend du signe de 6x-16
6x-16=0 quand x=8/3
(Je ne sais pas comment mette le tableau mais sur [0,5;8/3] g est décroissante et sur [8/3;3] g est croissante

c) g(2)=0

d) (je ne suis pas sure du tout)
Sur [0,5:2] g(x)>0 car g test décroissante sur cet intervalle et g(2)=0
Sur [2;8/3] g est décroissante et g(2)=0 donc g(x)

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Réponse : Variations fonction 1ère de liliebrt, postée le 06-03-2022 à 21:03:08 (S | E)
j’ai continué, et j’ai :

2.
a) f’(x)=(10-6x)exp(-x+2)+2
la dérivée de f correspond à la fonction g donc sur [0,5;2] la dérivée est positive, et sur [2;3] elle est négative.
Donc sur [0,5;2] la fonction f est croissante et sur [2;3] elle est décroissante.

b) f(2)=12
le maximum de f sur [0,5;3] est 12 atteint en x=2

Donc pour avoir un résultat d’exploitation maximum, il faut extraire 2000 tonnes de minerai (le résultat de l’exploitation sera de 12 centaines de milliers d’euros)

Merci à ceux qui vont me corriger

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Réponse : Variations fonction 1ère de tiruxa, postée le 07-03-2022 à 10:51:37 (S | E)
Bonjour
D'abord bravo d'avoir tout recopié. C'est globalement juste j'ai corrigé en rouge des points de détails, et un point important sur l'étude du signe de g.


Exercice 1 :
f est la fonction définir sur l’intervalle [0;5] par:
f(t)=10(1 - exp(-0,3t))

Partie A
a) calculer f(1)
b) étudier le sens de variation de la fonction f sur l’intervalle [0;5]
c) l’équation f(t)=10 admet-elle des solutions ? Justifier
d ) On admet que l’équation f(t)=5 admet une unique solution sur l’intervalle [0;5]. Tabuler la fonction f avec la calculatrice, puis donner un encadrement d’amplitude 0,01

J’ai fait ;
a) f(1)=10(1-exp(-0,3*1)=10-10exp(-0,3)
b) f’(t)=3exp(-0,3t)

3exp(-0,3t) > 0 donc f’(t) > 0
Sur [0;5] la dérivée est strictementpositive donc la fonction f est strictement croissante.

c) (Sur cette question je ne suis pas sure du tout)
moi j’ai fait ça:
Sur [0;5] f est croissante donc si 0<= t <=5 on a f(t) <= f(5)
De plus, f(5)≈7,77
Donc f(t)<10. Donc il n’y a pas de solutions

d) f(t)=5 quand
2,31 < t < 2,32

Partie B
Un incendie a ravagé, pendant t jours, (t ∈ [0;5]), une forêt de 50ha dans une région. La superficie, en ha, brûlée par les flammes au bout de t jours, est modélisée par la fonction f étudiée en partie A.
a) quelle est la superficie de forêt brûlée après une journée ? Arrondir au dixième.
b) un journaliste affirme : « 20 % de la superficie de la forêt a été ravagé par un incendie » a-t-il raison ?
c) au bout de combien de jours 5 ha de cette forêt ont-ils été brûlés?

J’ai fait
a) f(1)≈2,6
Après une journée 2,6 ha de forêt ont brûlé
b) 0,2*50=10
Or f(t)=10 n’admet pas de solution. Donc le journaliste a tort
c) f(t)=5 quand t ≈ 2,32
5 ha de la forêt ont brûlé au bout de 2,32 jours (si on veut un nombre de jours entiers : au bout de trois jours) garder 2,32 éventuellement convertir le 0,32 en h en le multipliant par 24

Exercice 2
chaque mois une entreprise peut extraire entre 500 et 3000 tonnes de minerai. Le résultat de l’exploitation, en centaines de milliers d’euros, et modélisée par la fonction f définie sur l’intervalle [0,5;3] par :
f(x)=(6x-4)exp(-x+2)+2x

1. g est une fonction définie sur l’intervalle [0,5;3] par :
g(x)=(10-6x)exp(-x+2)+2

a) déterminer g’(x) pour tout nombre réel x de l’intervalle [0,5;3]
b) dresser le tableau de variation de la fonction g
c) calculer g(2)
d) en déduire le signe de g(x) sur [0,5;3]

2. a) déterminer le sens de variation de la fonction f sur l’intervalle [0,5;3]
b) En déduire la quantité de minerai à extraire pour obtenir un résultat d’exploitation maximum.

J’ai fait

1. a)
g’(x)= (6x-16)exp(-x+2)

b) exp(-x+2) > 0
Le signe de la dérivée dépend du signe de 6x-16
6x-16=0 quand x=8/3
(Je ne sais pas comment mette le tableau mais sur [0,5;8/3] g est strictement décroissante et sur [8/3;3] g est strictement croissante

c) g(2)=0

d) (je ne suis pas sure du tout)
Sur [0,5:2] g(x)>=0 car g test décroissante sur cet intervalle et g(2)=0
Sur [2;8/3] g est décroissante et g(2)=0 donc g(x)
Attention ici il faut calculer g(3),on trouve un nombre strictement négatif, comme g(x) est compris entre g(8/3) et g(3) g(x) est négatif.
Personnellement j'aurai étudier [0,5;2[ puis ]2;3] de façon à avoir des inégalités strictes, la seule valeur qui annule g(x) étant 2



j’ai continué, et j’ai :

2.
a) f’(x)=(10-6x)exp(-x+2)+2
la dérivée de f correspond à la fonction g donc sur [0,5;2] la dérivée est positive, et sur [2;3] elle est négative.
Donc sur [0,5;2] la fonction f est croissante et sur [2;3] elle est décroissante.

b) f(2)=12
le maximum de f sur [0,5;3] est 12 atteint en x=2

Donc pour avoir un résultat d’exploitation maximum, il faut extraire 2000 tonnes de minerai (le résultat de l’exploitation sera de 12 centaines de milliers d’euros)

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Réponse : Variations fonction 1ère de liliebrt, postée le 09-03-2022 à 15:15:32 (S | E)
Merci !!

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