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    Matrices, Diagonalisation

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    Matrices, Diagonalisation
    Message de dani1505 posté le 26-04-2020 à 11:49:54 (S | E | F)
    Bonjour,
    j'ai un exercice à faire sur les matrices mais j'ai quelques difficultés à le finir. Voici l’exercice .
    Première partie: On a :
    A= (0 1)
    (-2 3)

    1) Calculer les valeurs propres de A.
    2) Montrer que A est diagonalisable.
    3) Déterminer une base de vecteurs propres de A et en déduire une matrice de passage P telle que P^-1*A*P=D soit diagonale. Exprimer les matrices D et P.
    4) Calculer A^k pour tout k appartenant à N.

    2ème partie: Soient u0 et u1 des nombres réels. On définit la suite (Un) avec n appartenant à N par la donnée de u0 et u1 et de la relation de récurrence:
    uk+2= 3uk+1 -2uk (k appartenant à N)

    1) on pose:
    Uk= ( uk )
    (uk+1)
    Exprimer Uk+1 en fonction de Uk (avec une relation matricielle faisant intervenir la matrice A).
    2)En déduire Uk en fonction de U0 (avec une relation matricielle faisant intervenir la matrice A^k).
    3)Exprimer finalement uk en fonction de k, u0 et u1.

    Petite indication: les U et u ne veulent pas dire la même chose.

    J'ai déterminé les valeurs propres de A en calculant son polynôme caractéristique. J'ai trouvé 1 et 2 pour les valeurs propres, elles sont réelles et distinctes donc A est diagonalisable. Je suis allé jusqu'à la question 1 de la 2ème partie en trouvant que Uk+1=AUk. Pour la suite, j'ai du mal à continuer car je n'arrive pas à trouver une relation entre A^k=P*D^k*P^-1 et Uk et U0.
    Merci d'avance de votre aide.


    Réponse : Matrices, Diagonalisation de tiruxa, postée le 26-04-2020 à 15:38:02 (S | E)
    Bonjour

    Pour le 2) de la deuxième partie, on peut montrer par récurrence que pour tout entier k, Uk= A^k U0

    C'est en fait similaire aux suites géométriques dans R.

    Ensuite la diagonalisation de la première partie a permis de calculer les A^k...



    Réponse : Matrices, Diagonalisation de dani1505, postée le 26-04-2020 à 15:59:46 (S | E)
    Bonjour,
    Merci pour votre réponse. J’ai réussi la qst 1 et 2 mais je bloque sur la dernière. Comment s’y prendre pour exprimer uk en fonction de k, u0 et u1 à partir de la relation de récurrence de l’énoncé et Uk= P*D^k*P^-1*Uo ?



    Réponse : Matrices, Diagonalisation de tiruxa, postée le 26-04-2020 à 16:48:22 (S | E)
    Il reste à calculer le produit des matrices du membre de droite de l'égalité, alors le terme de la première ligne de la matrice obtenue est uk.



    Réponse : Matrices, Diagonalisation de dani1505, postée le 26-04-2020 à 17:39:33 (S | E)
    Oui, mais il faudrait l’expression de D^k non ?



    Réponse : Matrices, Diagonalisation de tiruxa, postée le 26-04-2020 à 19:59:30 (S | E)
    Si D est (a 0)(0 b) alors D^k=(a^k 0)(0 b^k)

    C'est quand même l'intérêt d'avoir une matrice diagonale...

    Ce résultat se démontre par récurrence mais je pense qu'il figure dans le cours.




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