Aide DM d'entrée en SUP

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Aide DM d'entrée en SUP
Message de timt06 posté le 25-07-2020 à 20:54:34 (S | E | F)
Bonjour à tous, voici l’énoncé de l’exercice qui me tient tête pour la rentrée:
Problème : étude d’une suite d’entiers. On fixe un entier naturel impair a. On considère une
suite d’entiers naturels non nuls (un)n∈N vérifiant, pour tout n ∈ N : u(n+1)=
•u(n)/2 si u(n) est pair
•u(n)+a si u(n) est impair

(1) Démontrer que la suite (un)n∈N prend au moins une valeur 􏰋 a. (2) Démontrer qu’elle prend une infinité de fois des valeurs 􏰋 a.
(3) En déduire qu’elle est périodique à partir d’un certain rang.

J’ai compris le but de la suite et son fonctionnement mais je n’arrive pas à démontrer, si qlq pourrait m’aiguiller, merci

Réponse : Aide DM d'entrée en SUP de timt06, postée le 26-07-2020 à 09:09:15 (S | E)
Rectification, aux questions 1 et 2: il manque les « inférieurs ou égal » devant les a

Réponse : Aide DM d'entrée en SUP de tiruxa, postée le 26-07-2020 à 15:57:53 (S | E)
Bonjour,

Cela rappelle l'algo de Syracuse mais heureusement en moins compliqué !

Il me semble avoir une réponse à la première question mais ily apeut être plus rapide...

Mon conseil c'est de compresser la suite, c'est à dire d'exprimer les diverses formes de u(n+2) en fonction de u(n) et de a.

Ensuite en déduire une majoration de u(n+2) pour tout entier n (majoration qui dépend de u(n) et de a)

En déduire par récurrence une autre majoration de u(2n) en fonction de n et de a, puis passer à la limite.

Il en vient que pour n suffisamment grand u(2n) est inférieur à 2a.

On prend pour n une de ces valeur, notons là N

On démontre alors que u(N+2k) est inférieur à (1+1/2^k)a

Donc pour k assez grand , puis que 1/2^k apour limite 0, on aura u(N+2k) inférieur à a.

Voilà voilà...

Réponse : Aide DM d'entrée en SUP de timt06, postée le 26-07-2020 à 17:02:06 (S | E)
D’accord merci beaucoup je vais essayer ça !

Réponse : Aide DM d'entrée en SUP de puente17, postée le 26-07-2020 à 17:56:52 (S | E)
Bonjour,
Si U0 <= a 1) est fait.

U0 est pair ou impair
supposons le pair U0 = 2^p V0 avec V0 impair alors Up = V0 etc.
on peut donc toujours se ramener à un premier terme U0 impair.

On peut donc envisager U0>a et U0 impair
U1 = U0+a est pair donc U2 = (U0+a)/2.
Si U2 pair on continue à diviser par 2 successivement jusqu'à trouver Up = (U0+a)/2^(p-1) impair.
On a alors U(p+1) = (U0+a)/2^(p-1) + a qui est pair et donc U(p+2) = (U0+a)/2^p + a/2

Je vous laisse poursuivre ça a l'air de 'marcher'

Réponse : Aide DM d'entrée en SUP de timt06, postée le 26-07-2020 à 18:06:47 (S | E)
Merci, je vais suivre cette piste aussi

Réponse : Aide DM d'entrée en SUP de tiruxa, postée le 27-07-2020 à 14:50:49 (S | E)
Un résultat intéressant qui montre que l'on peut attendre longtemps avant d'avoir u(n) inférieur ou égal à a.

Prenons a=1 et p entier supérieur à 1

Si u0=2^p+1,impair , on a :

u1=2^p+2, pair
u2=2^(p-1)+1, impair
u3=2^(p-1)+2, pair
u4=2^(p-2)+1, impair
etc....
u(2k)=2^(p-k)+1,impair
u(2k+1)=2^(p-k)+2, pair
....
u(2(p-1))=2^1+1, impair
u(2p-1)=2^1+2, pair
u(2p)=1+1=2, pair
u(2p+1)=1

donc une suite de 2p+1 termes avant d'obtenir un terme égal à a.

Comme p peut être choisi aussi grand que l'on veut, on peut avoir une suite de nombres aussi longue que voulu avant de passer sous la valeur a !

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