Nombres réels

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Nombres réels
Message de stewart posté le 18-10-2020 à 22:57:58 (S | E | F)
Pour tout réel r, ⌊r⌋ est le plus grand entier inférieur ou égal à r et la partie fractionnaire de r est le nombre {r}=r-⌊r⌋. Quel est le nombre de réels r vérifiant 1≤r≤10 et {r}²={r²} ?

Je ne sais comment le montrer.

En essayant avec r=4,0 :
r²=16,0
t=r²-16=0
t²=0

Réponse : Nombres réels de chezmoi, postée le 18-10-2020 à 23:54:35 (S | E)
Bonsoir,

Soit un numéro x = r= ⌊r⌋ +{r}

Calculez {r}² et {r²}
Et testez des valeurs de r
r =2,1 → {r} = 0,1 →{r}²= 0,01 et {r²} = {2,1² } = {4,41} = 0,41
NB {r}²= 0,01 ≠0,41
r=1 → {r} = 0,0 →{r}²= 0 et {r²} = {1,0^2 } = 0
r=10 → {r} = 0,0 →{r}²= 0 et {r²} = {10^2 } = 0
Et pour les autres ?
Qu’est-ce qu’on va faire ?

J’espère cela vous aidera.

Bonne chance !

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Modifié par chezmoi le 18-10-2020 23:55

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Modifié par chezmoi le 19-10-2020 00:02

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Modifié par chezmoi le 19-10-2020 00:03

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Modifié par chezmoi le 19-10-2020 00:04

Réponse : Nombres réels de chezmoi, postée le 19-10-2020 à 00:04:35 (S | E)
Bonsoir...

Soit un numéro x = r= ⌊r⌋ +{r}

Calculez {r}² et {r²}
Et testez des valeurs de r
r =2,1 → {r} = 0,1 →{r}²= 0,01 et {r²} = {2,1² } = {4,41} = 0,41
NB {r}²= 0,01 ≠0,41
r=1 → {r} = 0,0 →{r}²= 0 et {r²} = {1,0^2 } = 0
r=10 → {r} = 0,0 →{r}²= 0 et {r²} = {10^2 } = 0
Et pour les autres ?
Soit r = n+a 1

Réponse : Nombres réels de tiruxa, postée le 19-10-2020 à 09:14:08 (S | E)
Bonjour,

Un autre exemple qui convient

x=2.25
{x}=0.25 donc {x}²=0.625

x=2+0.25
x²=4+2*2*0.25+0.625=5.625

{x²]=0.625={x}²

Réponse : Nombres réels de stewart, postée le 24-10-2020 à 11:11:33 (S | E)
Bonjour Tiruxa, bonjour Chezmoi,

r = ⌊r⌋ + {r} avec 0 ≤ {r} < 1

<=> r² = ⌊r⌋² + 2 × ⌊r⌋ × {r} + {r}²
avec 0 ≤ {r}² < 1

<=> 2 × ⌊r⌋ × {r} = r² - ⌊r⌋² - {r}²

<=> {r}² = r² - ⌊r⌋² - 2 × ⌊r⌋ × {r}

2.⌊r⌋.{r} = nombre entier

{r}² = r² - 2 × {r} × ⌊r⌋ + ⌊r⌋² =
(r-⌊r⌋)²

{r²} = r² - ⌊r²⌋
Si {r}²={r²}, alors r² - ⌊r²⌋ = r² + ⌊r⌋² - 2 × r × ⌊r⌋ ou - ⌊r²⌋ = ⌊r⌋² - 2 × r × ⌊r⌋

Comment répondre à la question demandant le nombre de réels qui vérifient 1≤r≤10 et {r}²={r²} ?

Réponse : Nombres réels de tiruxa, postée le 24-10-2020 à 12:38:08 (S | E)
Bonjour Chezmoi vous a proposé une notation plus commode utilisez là cela sera bien plus simple...

On note r=n+a avec n entier et a réel de l'intervalle [0;1[, n est la partie entière et a la partie fractionnaire.

On a r²=n²+2na+a²

Vous avez écrit que a² est dans [0;1[ c'est exact, ce nombre doit être la partie fractionnaire de r² ce sera le cas si et seulement si r² s'écrit N+a² avec N entier c'est à dire si et seulement si n²+2na est entier, mais comme n² est entier c'est équivalent à 2na est entier

Donc 2na=k avec k entier

Si n est nul c'est vrai pour tut réel a

Sinon a=k/(2n) , comme a est dans [0;1[ il faut choisr k entre ........

Je vous laisse conclure.

Ex pour n =3, a peut prendre les valeurs 0, 1/6, 1/3, 1/2, 2/3, 5/6

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