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Message de perfect posté le 24-10-2020 à 11:54:50 (S | E | F)
Bonjour,

J'aimerais votre aide pour un exercice qui me pose quelques difficultés.

ABCD est un parallélogramme de centre O. Une droite qui passe par O coupe la droite (AD) en M, la droite (AB) en N, la droite (CD) en P, et la droite (CB)en Q.
Démontrez que vec(NB)=vec(DP) et vec(MD)=vec(BQ)

Pour démontrez que vec(MD)=vec(BQ),
j'avais pensé dire que [MQ] a son milieu en O,
[BD] aussi
Ainsi BQDM forme un parallélogramme, donc vec(BQ)=vec(MD)
Mais comment pourrai-je affirmer que [MQ] a son milieu en O,il faudrait le prouver, non ?

Merci beaucoup pour votre aide!

Réponse : Vecteurs de wab51, postée le 24-10-2020 à 14:44:33 (S | E)
Bonjour
L'idée d'avoir pensé à approuver( à démontrer) que le quadrilatère BQDM est un parallélogramme est convenable en appliquant les propriétés :
1)"Si un quadrilatère a ses diagonales qui se coupent en leur milieu alors c'est un parallélogramme ".
2)"Les deux diagonales se coupent en leur milieu O .Ce point O est le centre de symétrie du parallélogramme".

Ainsi pour démontrer que le quadrilatère BQDM est un parallélogramme ,utiliser la symétrie.
[DA] est le symétrique de [AB] par rapport à O .
Etant donné que les points Q,O et M appartiennent à la meme droite ,ils sont donc alignés .Comme Q est un point du [BC] ,son symétrique par rapport à O appartient forcément à [AD] et aligné avec O et Q ,ce n'est d'autre que le point M .En conséquence ,[BQ] est le symétrique du [DM].Autrement dit
(BQ)//(DM) et BQ=DM ce qui traduit que vec(BQ)=vec(DM).

**Faire le meme raisonnement en considérant le quadrilatère BNDP pour démontrer que vec(NB)=vec(DP).
Bon courage et bonne continuation .

Réponse : Vecteurs de wab51, postée le 24-10-2020 à 14:59:35 (S | E)

Réponse : Vecteurs de perfect, postée le 25-10-2020 à 10:26:29 (S | E)
Bonjour,

Merci beaucoup.
Voici le même raisonnement appliqué pour prouver que vec(NB)=vec(DP):

(AB) est le symétrique de (DC) par rapport à O. P, Q et N appartiennent à la même droite, ils sont donc alignés. Comme N est un point de (AB), son symétrique appartient forcément à (DC) et aligné avec O et N, ce n'est d'autre que le point P.

En conséquence, [BN] est le symétrique de [PD]. Autrement dit (BN)//(DP) et BN=DP donc vec(NB)=vec(DP)
Est-ce correct ?

Merci encore,
perfect

Réponse : Vecteurs de wab51, postée le 25-10-2020 à 13:05:23 (S | E)
Oui- bien et c'est correct .
Ayant arrivé à démontrer que les deux points N et P sont symétriques par rapport à O ,on peut aussi emprunter une autre voie de raisonnement .
En effet,N et P étant symétrique par rapport à O alors O est donc milieu de [NP] (ON=OP).En considérant le quadrilatère BNDP,les deux diagonales
[BP] et [NP] se coupent en leur milieu O ,c'est donc un parallélogramme et par conséquent (BN)//(DP) et BN=DP ,il en résulte que vec(BN)=vec(DP).
Merci-Très bonne journée .

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