Base de vecteurs

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Base de vecteurs
Message de kadfr posté le 06-03-2021 à 11:39:22 (S | E | F)
Bonjour,
Les vecteurs U,V et W sont donnés dans une base (o,i,j,k)
U(2,-1,0)
V-5,2,1)
W(-1,7,3)

1°) Les vecteurs U,V et W forment –ils une base de l’espace ?
2°) Quelles sont les coordonnées du vecteur S(1,3,2) dans la base (U,V,W)

Réponse :
1°)
2/(-5) <> -1/2 donc U et V ne sont pas colinéaires
2/(-1) <> -1/7 donc U et W ne sont pas colinéaires
-5/(-1) <> 2/(-1) donc W et V ne sont pas colinéaires
U,V et W forment une base

2°) S=U+3V+2W
Et je ne vois pas comment faire.

Merci d’avance.

Réponse : Base de vecteurs de wab51, postée le 06-03-2021 à 14:02:13 (S | E)
Bonjour

2) Exprimer les vecteurs i,j,et k en fonction des vecteurs U,V et W puis remplacer les coordonnées de S .

Réponse : Base de vecteurs de roseodile, postée le 06-03-2021 à 14:59:14 (S | E)
Les vecteurs u, v et w forment une base de l'espace si et seulement si ils sont linéairement indépendants,c'est a dire que la seule solution de ce que propose wab51 est a=b=c=c=0.
C'est évident que c'est une solution mais il faut s'assurer qu'il n'y en pas d'autre .

Réponse : Base de vecteurs de tiruxa, postée le 06-03-2021 à 15:05:55 (S | E)
Bonjour kadfr et Wab51

Pour la question 2 cela me semble plus simple de chercher les réels x, y et z tels que

x U + y V + z W = S

C'est équivalent au système (à résoudre)

2x-5y-z=1
-x+2y+7z=2
y+3z=3

Ps: Pour kadfr, (1,2,3) sont les coordonnées dans la base (i,j,k) pas dans (U,V,W)

Réponse : Base de vecteurs de roseodile, postée le 06-03-2021 à 15:11:40 (S | E)
Désolée pour la faute de frappe,je n'ai pas beaucoup de temps.
Dans le 2° le vecteur S(1,3,2) est donné dans la base (i, j, k), S n'est pas égal à U+3V+2W, mais à i+3j+2k.
Bien sûr il faut mettre les flèches sur les vecteurs.
Bon courage

Réponse : Base de vecteurs de kadfr, postée le 08-03-2021 à 19:18:59 (S | E)
Bonjour,
tiruxa: S(1;3;2) et non (1;2;3)
x U + y V + z W = S

C'est équivalent au système (à résoudre)

2x-5y-z=1
-x+2y+7z=2
y+3z=3

réponse:
x=25/16
y=5/16
z=9/16

Coordonnées du vecteur S dans la base(u,v,w):
S(25/16;5/16;9/16)

Est-ce correct ?

Réponse : Base de vecteurs de tiruxa, postée le 08-03-2021 à 22:29:30 (S | E)
Oui c'est bien ça mais le système que tu as résolu est :

2x-5y-z=1
-x+2y+7z=3
y+3z=2

après correction de mon étourderie sur les coordonnées

Réponse : Base de vecteurs de kadfr, postée le 09-03-2021 à 18:35:27 (S | E)
Ce que je ne comprends pas:
Le vecteur S n'a pas les mêmes coordonnées dans les bases (o,i,j) et (u,v,w) c'est normal, mais est ce qu'il aurait la même norme qu'il a dans (o,i,j) et dans une autre base orthonormée ?

Réponse : Base de vecteurs de tiruxa, postée le 09-03-2021 à 19:32:17 (S | E)
Mais la nouvelle base n'est pas orthonormale !!

Réponse : Base de vecteurs de kadfr, postée le 11-03-2021 à 12:23:52 (S | E)
<b>Mais la nouvelle base n'est pas orthonormale !!</b>
Justement, si elle était orthonormée est ce que S aurait la même norme que dans (o,i,j) ?

Réponse : Base de vecteurs de tiruxa, postée le 11-03-2021 à 14:13:32 (S | E)
Si c'était le cas oui.

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