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    Suites et fonction logarithme

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    Suites et fonction logarithme
    Message de aude1 posté le 13-04-2021 à 19:26:35 (S | E | F)
    Bonjour! J'ai un exercice où j'ai du mal à savoir si le résultat est correct. Pourriez-vous m'aider? Merci

    Voici l'énoncé:
    "Soit (Vn) la suite définie par V1=ln2 et Vn+1=ln(2-exp(-Vn)) pour tout entier naturel n non nul.
    On définit la suite (Sn ) pour tt entier naturel non nul par Sn=V1+V2+...+Vn
    1/ Compléter la fonction Python qui calcule la valeur de Sn  pour une valeur de n choisis par l'utilisateur.

    def somme():
            V=ln2
             S=v
             for i in range (n):
                      V=ln(2-exp(-V))
                      S=S+V
             return S

    Ce qui est en gras est ce que je propose pour compléter l'algorithme.

    Posté par 

     Audetteee  13-04-21 à 16:24

    2/ À l'aide de cet algorithme on obtient quelques valeurs de Sn. Les valeurs arrondies aux dixième sont données dans le tableau suivant

    n 10 100 1000 10 000 100 000 1 000 000
    Sn 2,4 4,6 6,9 9,2 11,5 13,8

    En expliquant la démarche, émettre une conjecture quant au comportement de la suite (Sn).

    Ma réponse:
    On remarque que lorsqu'on multiplie n par 10 à plusieurs reprises, 2,3 est ajouté à Sn. En effet,  6,9-4,6=2,3  /  9,2-6,9=2,3 etc...  On en déduit que Sn semble tendre vers Sn +2,3.
    Je sais que cette justification ne convient pas mais je ne vois rien d'autre à part dire que ça tend vers +infini...
    Merci!!


    Réponse : Suites et fonction logarithme de tiruxa, postée le 13-04-2021 à 22:53:30 (S | E)
    Bonjour

    Oui la limite est +infini, en effet toute multiplication de n par 10 provoque une augmentation de Sn de 2.3 environ.

    Comme on peut multiplier autant de fois que l'on veut par 10 on peut atteindre un nombre aussi grand que voulu...

    Ce n'est pas une démonstration mais une conjecture.

    La croissance est lente car il s'agit d'un logarithme, votre professeur vous le justifiera sans doute.

    Remarque : 2.3 est une valeur approchée de ln10



    Réponse : Suites et fonction logarithme de tiruxa, postée le 14-04-2021 à 12:02:49 (S | E)
    Pour ce qui est du programme Python

    def somme():
    V=ln2
    S=v
    for i in range (n):
    V=ln(2-exp(-V))
    S=S+V
    return S
    Trois remarques :

    A la 3eme ligne c'est un v minuscule au lieu d'un V majuscule.

    la fonction logarithme népérien s'écrit log() aux lignes 2 et 5.

    Pour calculer Vn comme on commence à V1 (non pas à V0) il faut effectuer n-1 itérations (ou boucles) donc c'est range(n-1) au lieu de range(n)



    Réponse : Suites et fonction logarithme de bof, postée le 02-05-2021 à 09:03:07 (S | E)

    Voici le point de vue mathématique.
    Il suffit de constater que V_n = ln((n+1)/n), donc S_n = ln(n+1).
    D'où, en effet :


    S_10 = ln(11) ≈ 4
    S_100 = ln(101) ≈ 4,6
    S_1000 = ln(1001) ≈ 6,9
    etc.


    -------------------
    Modifié par bof le 03-05-2021 02:35



    -------------------
    Modifié par bof le 03-05-2021 02:36






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