Arithmétique

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Arithmétique
Message de harmonique posté le 18-09-2021 à 07:03:53 (S | E | F)
Bonsoir, s'il vous plaît j'ai besoin d'aide sur cet exercice.
soient a,b et c des entiers naturels.
Montrez que si a³+b³+c³ est divisible par 7, il en est de même pour le produit abc.
Merci d'avance!!

Réponse : Arithmétique de hicham15, postée le 18-09-2021 à 09:37:49 (S | E)
Bonjour

-D'abord vérifiez que : 7 divise abc <=> 7 divise au moins un des trois nombres.

-Procédez par raisonnement d'absurde : supposez que 7 divise a^3 + b^3 + c^3 sans qu'il divise ni a ni b ni c.

- En utilisant le petit théorème de Fermat, vous pouvez remarquer que a^3 =1 ou -1 modulo 7 (même chose pour b et c).

-Or on a a^3 + b^3 + c^3 = 0 modulo 7. Peut en obtenir 0 en sommant 1 ou -1 un nombre impair de fois (ici 3 fois) ? Bien sûr NON. D'où l'absurde.

Bonne journée.

Réponse : Arithmétique de tiruxa, postée le 18-09-2021 à 21:16:16 (S | E)
Bonjour

Juste une remarque :

Si on ne veut pas utiliser le th de Fermat
on peut dire que a est congru à -3 ou -2 ou -1 ou 1 ou 2 ou 3 modulo 7
Or 3^3 est congru à -1 modulo 7
et 2^3 est congru à 1 modulo 7
donc a^3 est congru à 1 ou -1 modulo 7.

Réponse : Arithmétique de hicham15, postée le 18-09-2021 à 21:28:00 (S | E)
Bonne remarque,

Oui, ça sera même mieux de procéder avec votre méthode. (plus naturelle)

Merci beaucoup.

Réponse : Arithmétique de harmonique, postée le 18-09-2021 à 22:16:34 (S | E)
Merci!! grâce à vous j'ai finalement compris.

Réponse : Arithmétique de harmonique, postée le 18-09-2021 à 22:22:56 (S | E)
S'il vous plaît comment peut-on montrer que:
1964^1710=9^1720(modulo 16) ??

Réponse : Arithmétique de hicham15, postée le 19-09-2021 à 12:24:53 (S | E)
De rien.

Est vous sûr de l'égalité ??

1964^1710 est divisible par 16 ( car 1964^2 l'est),

9^(qq chose) est toujours impair, donc pas divisible par 16.

Vérifier bien ton égalité si la question est de la montrer.

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