Equations de degré n

[Maths]Equations de degré n (1)

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[Maths]Equations de degré n
Message de raptor77 posté le 18-06-2007 à 20:03:16 (S | E | F | I)
Bonjour les amis j'aimerais savoir comment ~~(on)~~ faire pour résoudre une équation polynomiale de degré n strictement supérieur à 2 par exemple cette équation :
$2x^5-3x^3+4x^4-3=0$
Merci d'avance pour vos réponses
Cordialement
Raptor
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Modifié par bridg le 18-06-2007 20:05

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Modifié par webmaster le 27-01-2008 21:02

Réponse: [Maths]Equations de degré n de karenbella, postée le 18-06-2007 à 21:28:06 (S | E)
Bonjour Raptor77,

De manière générale, tu veux résoudre P(X) = 0.

Moi pour résoudre une équation de ce type, je commence par trouver une racine évidente. Appelons X0 cette racine. Ensuite je fais une division polynomiale du polynome P(X) par le facteut (X - X0).
Je ne sais pas quel est ton niveau d'étude (Bac+1 je suppose??), mais normalement dans les exo proposés dans les bouquins, la division a un reste nul. On obtient alors P(X) = (X - X0)*Q(X), avec Q(X) le polynome résultat de ta division.
Normalement (hé oui encore normalement!), ton polynome Q(X) est à son tours factorisable ;-) Et ainsi de suite...

Dans ton équation, je ne vois pas de racine évidente. Je suppose donc que tu l'as écrite toi même et que ce n'est pas un exercice tiré d'un bouquin ;-)

Un exemple:
Exo: Résoudre X^3 + 6X² + 9X + 4 = 0
Rép. : Une racine évidente pour cette équation est X = -1. On peut donc factoriser comme suit : (X + 1)Q(X) = 0, avec Q(X) obtenu en faisant la division polynomiale de X^3 + 6X² + 9X + 4 par (X + 1).
Ici Q(X) = X² + 5X + 4.
Je te conseille de faire la division pour bien t'en rendre compte.
Bon, on a donc notre équation de départ qui devient: (X + 1)(X² + 5X + 4) = 0
Et ça, normalement tu sais résoudre... Les solutions de ton équation de départ sont donc : -1, r1 ou r2, avec r1 et r2 les racines du trinôme X² + 5X + 4 que tu obtiens en faisant le delta ;-)

J'ai mis un 'OU' et non un 'ET' car il suffit que ton X soit égale à l'une des racine (-1, r1, r2) pour que ton équation soit vérifiée.

Bon avec toutes ses explications, j'espère que tu as compris... Et voici un exo si tu veux t'entrainer:

Résoudre X^3 - X² - 4X + 4 = 0

Tu peux le poster, je te le corrigerai si tu veux ;-)
Et si t'as des questions, n'hésite pas!

Bon courage!

Smahen

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Modifié par karenbella le 18-06-2007 21:29

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Modifié par magstmarc le 19-06-2007 14:23
On dit quand même : les solutions sont -1, r1 ET r2 (liste des solutions)
ou alors : x=-1 OU x=r1 OU x=r2
Au fait : racine évidente...essaye x=1 dans l'équation de raptor
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Modifié par karenbella
Heu... x=1 n'est pas racine évidente 2 - 3 + 4 - 3

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Modifié par magstmarc le 22-06-2007 22:40
Oui, ça fait bien zéro

Réponse: [Maths]Equations de degré n de raptor77, postée le 18-06-2007 à 22:19:26 (S | E)
Salut, tout d'abord je veux te remercier mais en fait ce que tu viens de me dire je le connais je l'ai déjà papris ce que je veux c'est résoudre ce genre d'équations quand on trouve pas de racines évidentes mais je vais quand même résoudre ton équation :
Donc nous avons $x^3-x^2-4x+4=0$
ON a une racine évidente qui est x=1
donc maintenant au lieu d'écrire Q(x) ou de diviser j'utilise une méthode plus simple et j'écris Q(x)= $(x-1)(ax^2+bx+c)=0$ avec a, b et c trois réels
On dévellope cette équation et on a $(x-1)(ax^2+bx+c)=x^3+bx^2+cx-ax^2-bx-c$
ce qui est égale à $ax^3+x^2(b-a)+x(c-b)-c$
On peut donc établir le système linéaire suivant
a=1 (E1)
b-a=-1 (E2)
c-b=-4 (E3)
c=-4 (E4)
On a qu'à trouver b on sait d'après E1 que a=1 et dans E2 b-a=-1 donc on remplace a par sa valeur de E1 et on trouve b=0
Finalement on a a=1, b=0 et c=-4
Donc on peut écrire que $(x-1)(x^2-4)=0$
DOnc x-1=0 ou x^2-4=0
donc x=1 ou x=2 ou x=-2
L'ensemble des soluations est donc S=(-2;1;2)
Voilà

Réponse: [Maths]Equations de degré n de karenbella, postée le 18-06-2007 à 22:51:18 (S | E)
Hi!

Je suis Ok pour ta résolution de l'exo. ;-)

Quand on ne trouve pas de racine évidente.... on peut utiliser les formules de Cardan. Tu peux aller faire un tour sur le net, si ça t'intéresse. Voici un premier lien expliquant la méthode de Cardan pour les polynômes de degré 3:
Lien Internet

Bonne recherche!
Amuse toi bien.

Smahen

Réponse: [Maths]Equations de degré n de raptor77, postée le 18-06-2007 à 22:58:41 (S | E)
D'accord je te remercie c'est exactement ce que je voulais mais c'est dommaqge que" seules les équations de degré 1, 2, 3, 4 sont résolubles par radicaux, c’est-à-dire que seules ces équations possèdent des méthodes générales de résolutions donnant les solutions en fonction des coefficients du polynôme"

Réponse: [Maths]Equations de degré n de marie11, postée le 18-06-2007 à 23:00:26 (S | E)
Bonsoir.

On sait résoudre une équation du 3° degré depuis que les algébristes italiens du XVI° siècle ont établi une formule de calcul.
Les mathématiciens Niels Henrik Abel(1802-1829) et Évariste Gallois (1811-1832) morts tous les deux très jeunes, ont démontré qu'il n'existait pas de formule pour résoudre des équations de degré supérieur à 4.

C' est donc le cas de votre équation, qui est de degré 5.

On utilise différents procédés ──> voir l'indication ci-dessus.

Voici un autre procédé.
on étudie les variation de
F(x) = $2x^5 + 4x^4 -3x^3 -3$
On calcule la dérivée, qui dans ce cas a une expression très "agréable"
On dresse un tableau de variations et on cherche les intersections de la courbe représentative avec l' axe de abscisses.
Ce n'est pas toujours évident mais on peut encadrer les racines quand elles existent et il existe des méthodes de calcul approché des racines.
Méthode de Lagrange, de Newton, méthode d'interpolation linéaire, méthode des sécantes parallèles...... C'est tout ce que l'on apprenait il y a bien longtemps en classe de mathélem.

Réponse: [Maths]Equations de degré n de marie11, postée le 18-06-2007 à 23:13:14 (S | E)
Bonsoir.

Je n'avais pas vu les calculs précédents.

x³ - x² - 4x + 4 se factorise très simplement.
x²(x -1) - 4(x - 1)
(x- 1)(x² - 4)
(x - 1)(x - 2)(x + 2)

C'est plus simple, non ?

Réponse: [Maths]Equations de degré n de raptor77, postée le 18-06-2007 à 23:16:38 (S | E)
D'accord ca devait être interessant à l'époque. Auajaurd'hui au lycée on fait pas de vrais maths
Mais quand tu dis l'intersection de la courbe avec l'axe des abscisses c'est la courbe de la dérivée ou de la fonction F(x)? POur trouver les variations de F(x) on étudie d'abord le signe de F'(x) n'est ce pas?Sinon peut-tu m'expliquer ce qu'est un groupe de Gallois stp?
merci d'avance
Cordialement
Raptor

Réponse: [Maths]Equations de degré n de magstmarc, postée le 18-06-2007 à 23:34:25 (S | E)
Hello raptor

On cherche les x tels que F(x)=0, donc il s'agit des abscisses des points d'intersection de la courbe de F avec l'axe des abscisses.(ordonnée = F(x) = 0 )
On peut savoir dans quels intervalles se trouvent ces valeurs en dressant le tableau des variations de F.
Pour cela on calcule F' et on étudie son signe.
Remarque : si c'est encore trop difficile, dans le cas d'une fonction polynôme, on peut alors calculer la dérivée de F', soit F''. Le degré du polynôme diminue de 1 à chaque dérivation (on s'arrête dès qu'on arrive à étudier le signe de la dérivée et on "remonte" le tableau jusqu'aux variations de F)

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Modifié par magstmarc le 18-06-2007 23:34
Pour les groupes de Galois, va voir sur Wikipédia par exemple, les cours de maths sont bien faits.
J'ai trouvé ça aussi qui m'a l'air plus simple :
Lien Internet

Réponse: [Maths]Equations de degré n de marie11, postée le 18-06-2007 à 23:50:48 (S | E)
Réponse:

Il s'agit des variations de f(x). On détermine ces variations à partir du calcul de la dérivée.
Et il faut déterminer les intersections de la représentation graphique de f(x) avec l'axe des abscisses.

En ce qui concerne la théorie de Galois ──> wikipédia théorie de Galois.

Une remarque intéressante sur la factorisation de :
x³ + 6x² + 9x + 4
On remarque que -1 est une racine évidente.
calculons la dérivée :
3x² + 12x + 9
On remarque que -1 est une racine évidente.
-1 est donc une racine double
donc
x³ + 6x² + 9x + 4 = (x + 1)²(x +4)
Il serait intéressant de connaître votre niveau d'études

Bonsoir.

Réponse: [Maths]Equations de degré n de raptor77, postée le 18-06-2007 à 23:52:43 (S | E)
Je passe en terminale scientifique spécialité mathématiques et svt mais étant donné que je suis passioné par les maths depuis mon enfance j'ai un niveau plus élevé que celui qu'on doit avoir au lycée

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