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[Maths]DM
Message de razorlight15 posté le 17-09-2007 à 20:08:33 (S | E | F | I)
Bonjour tout le monde!!
Donc j'ai un devoir maison pour jeudi et j'ai bien du mal a le faire:
1. On considère dans C l'équation (E): Z^3-12Z²+48Z-128=0.
a) Vérifier que 8 est une solution de cette équation.
Déterminer M,P,G tels que: z^3-12Z²+48Z-128=(Z-8)(MZ²+PZ+G).
b) Résoudre l'équation (E).
2. On pose a=2-2(i)racine de 3, b=2+2(i)racine de 3 et c=8.
a) Ecrire a,b et c sous forme trigonométrique.
Représenter les points A,B,C d'affixes respectives a,b,c dans le plan complexe.
b) Soit q=(a-c)/(b-c).
Déterminer le module et un argument de q.
En déduire la nature du triangle ABC.
Donc pour la 1a) vérifier que 8 est une solution, pas de problème; c'est pour la 1b) que c'est déja compliqué: j'avais pensé factorisé par z: Z(Z²-12Z+48+(128/Z))=0 et faire le discriminant ensuite mais je ne sais pas quoi faire du 128...
Ensuite pour la 2 je ne sais pas du tout comment faire...
Merci de m'aider au plus vite!!
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Modifié par webmaster le 27-01-2008 21:00
Message de razorlight15 posté le 17-09-2007 à 20:08:33 (S | E | F | I)
Bonjour tout le monde!!Donc j'ai un devoir maison pour jeudi et j'ai bien du mal a le faire:
1. On considère dans C l'équation (E): Z^3-12Z²+48Z-128=0.
a) Vérifier que 8 est une solution de cette équation.
Déterminer M,P,G tels que: z^3-12Z²+48Z-128=(Z-8)(MZ²+PZ+G).
b) Résoudre l'équation (E).
2. On pose a=2-2(i)racine de 3, b=2+2(i)racine de 3 et c=8.
a) Ecrire a,b et c sous forme trigonométrique.
Représenter les points A,B,C d'affixes respectives a,b,c dans le plan complexe.
b) Soit q=(a-c)/(b-c).
Déterminer le module et un argument de q.
En déduire la nature du triangle ABC.
Donc pour la 1a) vérifier que 8 est une solution, pas de problème; c'est pour la 1b) que c'est déja compliqué: j'avais pensé factorisé par z: Z(Z²-12Z+48+(128/Z))=0 et faire le discriminant ensuite mais je ne sais pas quoi faire du 128...
Ensuite pour la 2 je ne sais pas du tout comment faire...
Merci de m'aider au plus vite!!
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Modifié par webmaster le 27-01-2008 21:00
Réponse: [Maths]DM de magstmarc, postée le 18-09-2007 à 00:10:08 (S | E)
Bonjour Razorlight,
Tout d'abord il faut finir cette question (1) afin de déterminer ces trois nombres M, G, P.
Dans C comme dans R : P(8) = 0 ==> P(z) est factorisable par (z - 8) donc il existe un polynôme Q(z), de degré 2, tel que pour tout z : P(z) = (z - 8) Q(z)
Donc il existe 3 nombres M, P, G (dans C) tels que
z3 - 12z² + 48z - 128 = (z - 8)(Mz² + Pz + G).
Développe, réduis et ordonne le deuxième membre, tu obtiens l'égalité de deux polynômes pour tout z.
Dans C comme dans R : deux polynômes sont égaux pour tout z si et seulement si ...
Tu obtiendras des conditions qui permettent de calculer facilement M, G, P.
Ensuite, il reste à factoriser un polynôme du second degré (Mz² + Pz + G) ==> discriminant, etc.
Pour le (2) il s'agit d'écrire un complexe sous la forme trigonométrique |z|eit : commence par calculer le module de z et pense aux valeurs particulières du sinus et du cosinus...(sachant que eit = cos t + isint)
Avec tout cela tu devrais avancer voire terminer...poste ici le résultat de ta réflexion
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Modifié par magstmarc le 18-09-2007 00:14
Réponse: [Maths]DM de mathadonf, postée le 18-09-2007 à 00:29:19 (S | E)
Bonjour ,
Tu développes ton produit (z-8)(....) et tu ordonnes en z3 , z² , ...et ensuite tu identifies les coefficients des deux cotés.
celui de z3 est ...
celui de z² est ...
celui de z est ...
et tu as -128 = ...
Avec un systeme tu trouves M = ... P = ... et G = ...
Tu en déduis la factorisation de (E)
(z - 8 ) ( ...z² +... z +... ) = 0
Produit de facteurs nul....z = 8 ou (...) =0 (équation du second degré dans C que tu dois savoir résoudre et tu vas trouver justement 2 - 2irac3 et 2 + 2irac3 qui sont en dessous
mise sous forme trigo , c'est du cours ! (module et calcul de cos theta et sin theta )
pour le quotient tu calcules avec forme conjuguée ...et tu vas trouver ... + i ... c'est à dire ...ei ...) ce qui donne des indications sur ton triangle ABC.
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Modifié par magstmarc le 18-09-2007 01:10
Retrait des réponses
il faut laisser un peu de travail à faire.Réponse: [Maths]DM de razorlight15, postée le 18-09-2007 à 18:54:07 (S | E)
Donc tout d'abord merci pour votre aide, c'est vraiment super!!
Je voudrait revenir sur la question 2, tout d'abord je trouve M =1 P = -4 et G=8 es ce cela?
Et si oui pour la question 2 si j'ai bien compris vos explication:
soit z=8 ou je fais le discriminant de z²-4z+8=0 delta=16-32=-16
Donc z1=(4-irac16)/2 et z2=(4+irac16)/2 mais ensuite je ne vois pas comment on arrive a 2 - 2irac3 et 2 + 2irac3 ???
de me répondre au plus vite!!!Merci
razorlight
Réponse: [Maths]DM de marie11, postée le 18-09-2007 à 19:39:56 (S | E)
Bonjour.
Voici une métode simple de factoriser une expression de ce type :
z² - 4z + 8 = (z - 2)² + 4 = (z - 2)² - 4i²
Il suffit maintenant de factoriser en utilisant l'identité remarquable :
A² - B² = (A + B)(A - B)......
C'est beaucoup moins compliqué que d'utiliser " l'artillerie lourde !!!"
En ce qui concerne votre devoir vous avez fait une erreur dans la factorisation :
Vous auriez dû trouver :
(Z - 8)(Z² - 4Z + 16)
Ainsi d'après la remarque précédente
Z² - 4Z + 16 = (Z - 2)² + 12 = (Z - 2)² - 12 i²
Je vous laisse faire le calcul
Vous trouverez :
et
Réponse: [Maths]DM de razorlight15, postée le 19-09-2007 à 15:11:26 (S | E)
Ah ok!!
pour toutes ces indications!!Maintenant je suis à la question 2 et j'ai trouvé des résultats mais il me faut confirmation pour être plus sûr de moi:
2.a)Pour a: module de a=racine((2)²+(2rac3)²=rac16=4.
arg(a)=4((1/2)-i((2rac3)/4) donc l'angle est environ -1.05 degrés.
Donc a=4(cos1.05-isin1.05).
Pour b:module=4
arg(b)=4((1/2)+i((2rac3)/4) donc l'angle est environ 1.05 degrés.
b=4(cos1.05+isin1.05).
Pour c: module=8
arg(c)=8(1+0i) donc l'angle est 0.
c=0.
Je voudrais confirmation pour tout cela!!
Merci d'avance!!
Razorlight.
Réponse: [Maths]DM de magstmarc, postée le 19-09-2007 à 16:01:46 (S | E)
Bonjour Razorlight,
Ta calculatrice devrait être réglée en radians depuis 2 ans
Plus sérieusement :
- Attention, il n'est pas question de remplacer un angle par une valeur approchée et d'écrire "="
- Mais fort heureusement, on reconnaît des valeurs particulières de cos et sin :
cos(thêta) = 1/2 et sin(thêta) = -2rac(3)/4 = -rac(3)/2...ça doit forcément te rappeler quelque chose
(sinon, c'est l'occasion d'aller réviser ces beaux tableaux de valeurs particulières que tu as sûrement quelque part
)Courage...tu y es presque
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Modifié par magstmarc le 19-09-2007 16:02
Petit rajout pour
"arg(c)=8(1+0i) donc l'angle est 0.
c=0."
C'est tout le contraire !
c = 8
Donc c est réel
Donc arg(c)= 0 : aucun calcul à faire ici(c'est sûrement dans ton cours)
INDISPENSABLES : 