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Message de fischerf posté le 05-04-2018 à 16:03:02 (S | E | F)
Bonjour
J'ai trouvé la solution du problème suivant, mais je me demande s'il n'existe pas une méthode plus élégante. Y a-t-il quelqu'un qui connaît une méthode brève, compréhensible et élégante ?
Problème:
Afin qu'on ne découvre pas son code PIN à quatre chiffre xyzu, un certain Mister X a créé un système d'équations, dont une solution en forme xyzu représente son code mentionné. Alors au lieu de mettre son code PIN à quatre chiffres par écrit, il note seulement le système suivant sur son bureau:
5x - y + z + u = 6
3x + y - 3z - 2u = -12
2x - y + 2z + u = 7
8x - y + u = 5
Quel est le code PIN de Mister X ?
Message de fischerf posté le 05-04-2018 à 16:03:02 (S | E | F)
Bonjour
J'ai trouvé la solution du problème suivant, mais je me demande s'il n'existe pas une méthode plus élégante. Y a-t-il quelqu'un qui connaît une méthode brève, compréhensible et élégante ?
Problème:
Afin qu'on ne découvre pas son code PIN à quatre chiffre xyzu, un certain Mister X a créé un système d'équations, dont une solution en forme xyzu représente son code mentionné. Alors au lieu de mettre son code PIN à quatre chiffres par écrit, il note seulement le système suivant sur son bureau:
5x - y + z + u = 6
3x + y - 3z - 2u = -12
2x - y + 2z + u = 7
8x - y + u = 5
Quel est le code PIN de Mister X ?
Réponse : PIN-Code de Mister X de puente17, postée le 05-04-2018 à 19:19:41 (S | E)
Bonjour,
Il semblerait qu'il y ait un 'problème' avec votre système linéaire vu que son déterminant est nul ce qui signifie que soit le système n'a pas de solution soit qu'il en a une infinité. Comme vous en avez trouvé une il y en a donc une infinité.
Si on ne dispose pas d'un programme de résolution de système linéaire ce qui simplifierait bien les choses il faut faire les calculs à la main ce qui peut devenir pénible.
La méthode la plus courante c'est de 'trianguler' le système.c'est en gros les méthodes de 3ième: par addition et par substitution.mais dans un système '4x4'
Soit (1) :5x-y+z+u = 6; (2): 3x+y-3z-2u =-12; (3): 2x-y+2z+u = 7; (4): 8x-y+u =5
on va se débarrasser des 'u' en faisant: (2')
2) + 2(1) → 13x-y-z = 0; (3') : (3) - (1) → -3x +z = 1; (4') : (4)-(1) : 3x -z = -1le problème est là, (3') et (4') sont identiques et donc ont a en fait 3 équations et non 4 pour un système à 4 inconnues
ex: si je prends x = 1 grâce à (4') ou (3') on obtient z = 4 puis avec (2') on obtient y =9 et enfin (1) nous donne u = 6.
si je prends x = 2 grâce à (4') ou (3') on obtient z = etc.
La méthode fait appel à la triangularisation des matrices dans les 'grandes classes' et addition substitution au collège.
sauf erreur de calcul de ma part il y a 'des tonnes' de solutions et il aura des problèmes au moment d'ouvrir son coffre.
Réponse : PIN-Code de Mister X de wab51, postée le 06-04-2018 à 02:30:16 (S | E)
Bonjour
Réponse : PIN-Code de Mister X de fischerf, postée le 06-04-2018 à 09:00:04 (S | E)
Bonjour
Merci bien pour vos solutions. Ce sont exactement lesquels que moi aussi j'ai utilisé. C'est vrai que le système a une infinité de solutions, mais seulement l'une d'entre eux satisfait la condition que x, y, z et u représentent des chiffres du système décimal. Alors on a une seule solution: 1946
Merci
Réponse : PIN-Code de Mister X de wab51, postée le 08-04-2018 à 10:44:14 (S | E)
Bonjour
Je pense vous avoir trouvé une autre méthode plus élégante et plus légère telle que vous souhaitiez peut-etre :
Des quatre équations du système ,on peut écrire :
u-y = 6 - 5*x - z = 12 + 3*x -3*z - u = 7 - 2*x - 2*z =5 - 8*x (égalité (1))
Puisque 6 - 5*x - z =5 - 8*x ↔ z - 3*x = 1 .Etant donné que x et z représente des chiffres compris entre 0 et 9,cette équation n'a pour seules solutions que ses trois couples ordonnées : (1,0) ; (4,1) ; (7,2) .
*Le seul et unique couple (z,x) qui vérifie l'égalité (1) précédente est le couple (4,1) et qui donne u - y = -3 , autrement dit x= 1 et z = 4 .
De l'égalité (1) ,on a u - y =12 + 3*x - 3*z - u d'où -3 = 12 + 3*1 - 3*4 - u soit u = 6
Comme u - y = -3 alors y = u + 3 = 6 + 3 = 9 donc y = 9 .
Le seul code PIN est xyzt = 1946 .Merci
Réponse : PIN-Code de Mister X de fischerf, postée le 09-04-2018 à 14:59:29 (S | E)
Bonjour
Merci bien pour votre solution! Moi aussi je pense qu'il n'y a pas une solution plus facil et plus brève.
Merci!
Réponse : PIN-Code de Mister X de wab51, postée le 14-04-2018 à 22:33:03 (S | E)
Bonjour
A la question de retrouver une résolution brève et compréhensible au système donné?
Si je crois avoir compris la question ,il s’agit d'abord d’une question relative. Mais si elle vise précisément à suggérer une méthode non seulement courte mais aussi abordable , compréhensible et compatible avec un niveau de compétence moyen (pas supérieur mais secondaire ),cette possibilité existe.
1)Prérequis de compétence de la méthode :
1-a) Encadrement d’un nombre
1-b) Quelques règles opératoires usuelles sur les inéquations .
Méthode :
1)Trouver un encadrement de (u-y) puis déduire les chiffres possibles de x ?
y chiffre ↔ 0≤y≤9 ↔ -9≤-y≤0 (1) ; u chiffre ↔0≤u≤9 (2) . En combinant (1) et (2) ,on obtient -9≤u-y≤9 .
A partir de l’équation (4) : 8*x-y+u=5 ↔ u-y=5-8*x d’où -9≤5-8*x≤9 ↔ -0,5≤x≤1,75 et comme x est un chiffre alors 0≤x≤1
Il en résulte donc que les chiffres possibles de x sont : x=0 ou x=1
2) Recherche des solutions
2-a) cas x=0 :
*De l’équation (4) : u-y=5 . De l’équation (1) : z=1 . De l’équation (2) : y= -1 ,cette solution est incompatible ,contraire à l’hypothèse 0≤y≤9 , par conséquent cas x=0 est rejeté .
2-b) cas x=1 :
Appliquer le même procédé de calcul que 2-a) précédent et on aboutit facilement aux résultats :
x=1 ; y=9 ; z=4 et u =6 . Donc le code PIN xyzu=1946 .Merci
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