Arithmétique

Bonjour
Tout d'abord ,désolé pour ce long retard .
Votre raisonnement est tout à fait juste et se base sur la propriété de la divisibilité "Si a divise b et b divise a alors a = ±b".En considérant a=2 et b=|x-y|,vous aviez répondu à la 1ère partie de la question " 2 divise |x-y|dont vous aviez oublié de donner la précision avec la condition que |x-y|≥ 2 et il ne vous restait plus qu'à prouver que |x-y| divise 2 ? (l'objet de votre question) .
*Pour que |x-y| divise 2 ,il faut d'abord que |x-y|≤2 .
a)1ère méthode:
En tenant compte des deux condition précédentes que 2 ne divise |x-y| que si |x-y|≥ 2 et que |x-y| ne divise 2 que si |x-y|≤2 ,il en résulte de ses conditions simultanées que |x-y|= 2 .
b)2ème méthode:
Partant de la condition que |x-y| divise 2 que si |x-y|≤2 ce qui implique soit que |x-y|=0 ou |x-y|=1 ou |x-y|=2 .
b-1)|x-y|=0 (cas à exclure car la division par o n'existe pas - impossible))
b-2) |x-y|=1 ↔ x=y+1 ou x=y-1 ↔ x et y entiers consécutifs mais comme en plus ils sont impairs (puisque d'après Q-1 ,la différence (x-y) est paire alors x et y sont de même parité et de plus le Pgcd(x,y)=1 ,ils ne peuvent être qu'impairs )donc contraire à cette donnée (l'un pair et l'autre impair),ce cas est encore à exclure .
b-3) Conclusion : des résultats b-1) et b-2) ,on déduit que |x-y|= 2 .
***Nota :solutions auxquelles doit répondre le système donné ,voir mon prochain message .Bonne compréhension et bon courage .