Devoir maison limite suite

Devoir maison limite suite
Message de harierod posté le 01-11-2019 à 13:50:15 (S | E | F)
Bonjour,

voilà, j'ai un dm de maths à rendre Lundi et je suis bloqué sur une question à l'allure simple mais qui ressemble à un véritable casse-tête pour moi !

Voici l'énoncé :

On considère une suite (Un), définie sur N dont aucun terme n'est égal à -3
On définie alors la suite (Vn) sur N par Vn=-2/(3+Un)

Ensuite il suffit de dire si les propositions suivantes sont vraies ou fausses et de le prouver par une démonstration. Dans le cas d'une proposition fausse, la démonstration consistera à fournir un contre exemple.
1) Si (Un) est convergente, alors (Vn) est convergente.
2) Si (Un) est minorée par 2, alors (Vn) est minorée par -1.
3) Si (Un) est décroissante, alors (Vn) est croissante.
4) Si (Un) est divergente, alors (Vn) converge vers zéro.

1. Si (Un) est convergente, alors (Vn) est convergente

-> Faux, contre exemple : Un=1/(3+n)= convergente vers 0 et Vn=-2n tend vers -l'infini

2. Vrai
-1<=Un
3-1<= 3+Un
-2/(3-1)>=-2/(3+Un)
-1>=Vn



3. Faux
Contre-exemple : Un = 1/3+n décroissante , Vn = 2/3+Un est décroissante ?

4. Je n'en ai aucune idée...

Merci pour tout aide !

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Réponse : Devoir maison limite suite de tiruxa, postée le 01-11-2019 à 15:44:31 (S | E)
Bonjour,

Exercice intéressant...

1°) En effet c'est faux mais ton contrexemple ne fonctionne pas, car c'est juste Un que l'on choisit.
Vn est lui toujours égal à -2/(3+Un).

Dans ton exemple la limite de Un est 0 donc celle de Vn est -2/3.... ce n'est pas un contrexemple!

Il te faut Vn qui tende vers l'infini, pour cela le dénominatuer doit endre vers 0. A toi de voir comment choir Un.

2°)Le principe est bon mais des erreurs !! (suite plus loin car mon message est tronqué lorsde ladiffusion...)

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Réponse : Devoir maison limite suite de puente17, postée le 01-11-2019 à 16:06:00 (S | E)
Bonjour,

• Pourquoi ne pas partir directement de Un >= 2, ça fonctionne très bien et on arrive à Vn<= -2/5 il me semble?

• pour 3) reprenez les calculs.
• pour 4) essayez avec Un = -2 si n pair et Un = -4 sinon.

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Réponse : Devoir maison limite suite de tiruxa, postée le 01-11-2019 à 16:14:28 (S | E)
....suite...

2 inférieur à Un puis 2+3 inférieur à Un + 3
Ensuite utiliser la fonction inverse qui est décroissante sur R+, puis....

3°) Prendre un contrexemple simple Un=-n-4 qui est décroissante et dont aucun terme n'est égal à -3... Démontrer que (Vn) est décroissante

4°) Pour un contrexemple, le truc c'est d'éviter les suites (Un) de limite infinie.... prendre une suite qui n'a pas de limite...
Bon travail

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