Chiffre des unités et dizaine

Chiffre des unités et dizaine
Message de harmonique posté le 19-02-2021 à 16:11:25 (S | E | F)
Bonsoir, besoin d'aide, s'il vous plaît :
On considère le nombre N=AnAn-1....A1A0 écrit en base 10.
1) Montrer que le reste de N dans la division euclidienne par 100 est A1A0 en base 10.
2) En déduis le chiffre des unités et des dizaines de N=7^7^7^7, où a^b se lit a exposant b.
J'ai fais la première question, mais je suis bloqué sur la seconde.
Merci de m'aider.

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Réponse : Chiffre des unités et dizaine de tiruxa, postée le 19-02-2021 à 21:45:56 (S | E)
Bonjour

Pour la question 2 il faut raisonner modulo 100

mais le problème c'es l'absence de parenthèses

Par ex : ((2^2)^2)^2=(4^2)^2=16²=256

mais 2^(2^(2^2))=2^(2^4)=2^16=65536

vous voyez que c'est très différent suivant la place des parenthèses

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Réponse : Chiffre des unités et dizaine de chezmoi, postée le 19-02-2021 à 22:29:26 (S | E)
Bonsoir
Je n'ai pas tout à fait compris mais...

n 7^n (mod 100)
1 7 7
2 49 49
3 343 43
4 2401 1
5 16807 7
6 117649 49
7 823543 43


n 7^n (mod 10)
1 7 7 -3
2 49 9 -1
3 343 3 -7
4 2401 1 -9
5 16807 7 -3
6 117649 9 -1
7 823543 3 -7

Mais j'espère quwe cela vous aide un peu.

Bonne chance!

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Réponse : Chiffre des unités et dizaine de tiruxa, postée le 19-02-2021 à 23:12:53 (S | E)
Bon

Ce qui est intéressant c'est que 7^4 est congru à 1 modulo 100

On peut élever ce résultat à lapuissance que l'on veut

Par ex (7^4)^80 est congru à 1^80 c'est à dire à 1 modulo 100

Donc 7^320 est congru à 1 modulo 100

C'est ce genre de résultat que vous devez utiliser, vous devez calculer ainsi :

On a (7^7)^7 = 7^49

donc ((7^7)^7)^7=(7^49)^7=7^343

je vous laisse continuer...

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Réponse : Chiffre des unités et dizaine de harmonique, postée le 20-02-2021 à 10:55:42 (S | E)
Merci, je me retrouve.

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Réponse : Chiffre des unités et dizaine de harmonique, postée le 20-02-2021 à 10:57:48 (S | E)
C'est que dans l'éxercice, il n'y avait pas de parenthèse.

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Réponse : Chiffre des unités et dizaine de tiruxa, postée le 20-02-2021 à 11:46:24 (S | E)
Ok donc on peut supposer qu'elles sont placées comme je l'ai fait.

Vous avez du voir que les restes modulo 100 reviennent périodiquement avec une période égale à 4.

Cela provient du fait que 7^4 est congru à 1 modulo 100

Si je continue mon exemple 7^320 congru à 1 modulo 100

je peux multiplier successivement par 7, 7² 7^3 puis 7^4 congru respectivement à 7, 49, 43 et 1 modulo 100

on obtient alors 7^321 congru à 7 mod 100
puis 7^322 congru à 49 mod 100
et 7^323 congru à 43 mod 100
puis 7^324 congru à 1 mod 100

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Réponse : Chiffre des unités et dizaine de harmonique, postée le 21-02-2021 à 11:43:09 (S | E)

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