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Message de laxmi posté le 07-05-2025 à 02:50:18 (S | E | F)
Bonjour, j'aurai besoin d'aide sur un exercice. Voici le sujet:
Dans toute la suite, les variables aléatoires sont définies sur un espace de probabilité
(Ω, F, P). Soit Σ une permutation aléatoire uniforme de [[1,n]]. Ainsi, Σ est une variable aléatoire à valeurs dans Sn, l’ensemble des bijections de [[1,n]]. On s’intéresse au nombre de points fixes de Σ, c’est-à-dire au nombre d’entiers k tels que Σ(k) = k. On note An le nombre aléatoire de points fixes de Σ.
1.(a) Justifier que pour toute permutation τ ∈ Sn, on a P (Σ = τ) = 1/n! .
(b) On notera dans la suite Pm(n) l’ensemble des parties à m éléments de [[1,n]] et P(n) l’ensemble des parties de [[1,n]].
i. Quels sont les cardinaux de Pm(n) et P(n) ? Quelle relation existe entre ces quantités ?
ii. Soit I ∈ Pm(n). Justifier que le nombre de permutations σ telles que σ(i) = i
pour tout i ∈ I est égal à(n − m)!.
(c) En déduire que pour tout I ∈ Pm(n), on a
P(∀i ∈ I, Σ(i) = i) = 1 / (n(n − 1)· · ·(n − m + 1)).
(d) On pose, pour tout I ∈ P(n), ZI = 1accolade(∀i∈I, Σ(i)=i).
i. Quelle est la loi de la variable aléatoire ZI ? Donner son espérance.
ii. Les variables aléatoires (ZI )I∈P(n) sont-elles indépendantes ? Justifier.
2. On note Fn ⊂ [[1,n]] l’ensemble des points fixes de Σ, de sorte que An = |Fn|. On
note également An^(m)le nombre de parties à m éléments de Fn. En particulier, An^(1) = An.
(a) Justifier que
An^(m) =(An(An − 1)· · ·(An − m + 1))/m!.
(b) Justifier que l’on a également
An^(m) = Σ I∈Pm(n) ZI .
(c) En déduire que
E[An(An − 1)· · ·(An − m + 1)] = 1.
3. On note fn(z) = E[z^An ] la fonction génératrice de An.
(a) Justifier que fn est une fonction polynomiale de degré n (on ne demande pas de la calculer pour l’instant).
(b) Montrer que pour tout entier m tel que 0 ≤ m ≤ n, on a fn^(m) (1) = 1.
(c) En déduire que fn(z) = Σ(lorsque j prend les valeurs de 0 à n) (z − 1)^j/j!.
4. Montrer que fn(z) → e^(z−1) pour tout z ∈ C lorsque n → ∞.
5. (a) Exprimer la fonction caractéristique de An à partir de fn et donner son expression.
(b) En déduire que An converge en loi vers une variable de Poisson de paramètre 1.
(c) Que vaut la probabilité limite que Σ n’ait aucun point fixe ?
1)a) Sn contient exactement n ! permutations. Donc si Σ est uniformément distribué sur Sn alors ∀τ ∈ Sn, P (Σ = τ) =1/|Sn|= 1/n!
b)i) Pm(n) l’ensemble des parties à m éléments de [[1,n]] :
|Pm(n)|=n!/(m!(n-m)!)
P(n) l’ensemble des parties de [[1,n]] :
|P(n)|=2^n
|P(n)|=2^n= Σ(lorsque m prend les valeurs de 0 à n) n!/(m!(n-m)!)= Σ(lorsque m prend les valeurs de 0 à n) |Pm(n)|
ii) Soit I ∈ Pm(n). Si σ(i) = I, pour tout i ∈ I, seuls les éléments du complémentaire de I sont déplacés. L’ensemble du complémentaire de I contient n-m éléments car I contient m éléments. égal à(n − m)!.
c) On sait que pour tout τ ∈ Sn, on a P (Σ = τ) = 1/n! et le nombre de permutations σ telles que σ(i) = i pour tout i ∈ I est égal à(n − m)!
Donc pour tout I ∈ Pm(n), on a
P(∀i ∈ I, Σ(i) = i) = (n-m)!/n! = 1 / (n(n − 1)· · ·(n − m + 1)).
d)i) I ∈ P(n), ZI = 1accolade(∀i∈I, Σ(i)=i). ZI suit une loi de Bernoulli de paramètre p.
E(X) = p = 1 / (n(n − 1)· · ·(n − m + 1)).
ii) Les variables aléatoires (ZI )I∈P(n) ne sont pas indépendantes. Ex :I=accolade(1,2)
P(Z accolade(1)=1)=P(Σ(1)=1)=1/2
P(Z accolade(2)=1)=P(Σ()=2)=1/2
P(Zaccolade(1)=1 ∩ Zaccolade(2)=1)=1/2
P(Zaccolade(1)=1 ∩ Zaccolade(2)=1) ≠ P(Zaccolade(1)=1)P(Zaccolade(2)=1)
2.a) An^(m)le nombre de parties à m éléments de Fn. An^(m)=An!/(m!(An-m)!)= (An(An − 1)· · ·(An − m + 1))/m!.
b)
c)
3. fn(z) = E[z^An ] = Σ(lorsque k prend les valeurs de 0 à n) P(An=k)z^k
a) C’est une somme finie de puissance de z, avec degré au plus n. Comme P(An=k)>0 le polynôme est de degré n.
b)
c)
4.
5.a) ΦAn(t)=E[e^itAn]=fn(e^it)=
Σ(lorsque j prend les valeurs de 0 à n) ((e^(it) -1)^j)/j !
b)An ~ P(1)
La fonction caractéristique converge vers une loi de Poisson
lim(n→∞) ΦAn(t)= lim(n→∞) Σ (lorsque j prend les valeurs de 0 à n) ((e^it -1)^j)/j! = e^(e^it -1)
c)
6.
Merci d'avance pour l'aide qui sera apportée
Message de laxmi posté le 07-05-2025 à 02:50:18 (S | E | F)
Bonjour, j'aurai besoin d'aide sur un exercice. Voici le sujet:
Dans toute la suite, les variables aléatoires sont définies sur un espace de probabilité
(Ω, F, P). Soit Σ une permutation aléatoire uniforme de [[1,n]]. Ainsi, Σ est une variable aléatoire à valeurs dans Sn, l’ensemble des bijections de [[1,n]]. On s’intéresse au nombre de points fixes de Σ, c’est-à-dire au nombre d’entiers k tels que Σ(k) = k. On note An le nombre aléatoire de points fixes de Σ.
1.(a) Justifier que pour toute permutation τ ∈ Sn, on a P (Σ = τ) = 1/n! .
(b) On notera dans la suite Pm(n) l’ensemble des parties à m éléments de [[1,n]] et P(n) l’ensemble des parties de [[1,n]].
i. Quels sont les cardinaux de Pm(n) et P(n) ? Quelle relation existe entre ces quantités ?
ii. Soit I ∈ Pm(n). Justifier que le nombre de permutations σ telles que σ(i) = i
pour tout i ∈ I est égal à(n − m)!.
(c) En déduire que pour tout I ∈ Pm(n), on a
P(∀i ∈ I, Σ(i) = i) = 1 / (n(n − 1)· · ·(n − m + 1)).
(d) On pose, pour tout I ∈ P(n), ZI = 1accolade(∀i∈I, Σ(i)=i).
i. Quelle est la loi de la variable aléatoire ZI ? Donner son espérance.
ii. Les variables aléatoires (ZI )I∈P(n) sont-elles indépendantes ? Justifier.
2. On note Fn ⊂ [[1,n]] l’ensemble des points fixes de Σ, de sorte que An = |Fn|. On
note également An^(m)le nombre de parties à m éléments de Fn. En particulier, An^(1) = An.
(a) Justifier que
An^(m) =(An(An − 1)· · ·(An − m + 1))/m!.
(b) Justifier que l’on a également
An^(m) = Σ I∈Pm(n) ZI .
(c) En déduire que
E[An(An − 1)· · ·(An − m + 1)] = 1.
3. On note fn(z) = E[z^An ] la fonction génératrice de An.
(a) Justifier que fn est une fonction polynomiale de degré n (on ne demande pas de la calculer pour l’instant).
(b) Montrer que pour tout entier m tel que 0 ≤ m ≤ n, on a fn^(m) (1) = 1.
(c) En déduire que fn(z) = Σ(lorsque j prend les valeurs de 0 à n) (z − 1)^j/j!.
4. Montrer que fn(z) → e^(z−1) pour tout z ∈ C lorsque n → ∞.
5. (a) Exprimer la fonction caractéristique de An à partir de fn et donner son expression.
(b) En déduire que An converge en loi vers une variable de Poisson de paramètre 1.
(c) Que vaut la probabilité limite que Σ n’ait aucun point fixe ?
1)a) Sn contient exactement n ! permutations. Donc si Σ est uniformément distribué sur Sn alors ∀τ ∈ Sn, P (Σ = τ) =1/|Sn|= 1/n!
b)i) Pm(n) l’ensemble des parties à m éléments de [[1,n]] :
|Pm(n)|=n!/(m!(n-m)!)
P(n) l’ensemble des parties de [[1,n]] :
|P(n)|=2^n
|P(n)|=2^n= Σ(lorsque m prend les valeurs de 0 à n) n!/(m!(n-m)!)= Σ(lorsque m prend les valeurs de 0 à n) |Pm(n)|
ii) Soit I ∈ Pm(n). Si σ(i) = I, pour tout i ∈ I, seuls les éléments du complémentaire de I sont déplacés. L’ensemble du complémentaire de I contient n-m éléments car I contient m éléments. égal à(n − m)!.
c) On sait que pour tout τ ∈ Sn, on a P (Σ = τ) = 1/n! et le nombre de permutations σ telles que σ(i) = i pour tout i ∈ I est égal à(n − m)!
Donc pour tout I ∈ Pm(n), on a
P(∀i ∈ I, Σ(i) = i) = (n-m)!/n! = 1 / (n(n − 1)· · ·(n − m + 1)).
d)i) I ∈ P(n), ZI = 1accolade(∀i∈I, Σ(i)=i). ZI suit une loi de Bernoulli de paramètre p.
E(X) = p = 1 / (n(n − 1)· · ·(n − m + 1)).
ii) Les variables aléatoires (ZI )I∈P(n) ne sont pas indépendantes. Ex :I=accolade(1,2)
P(Z accolade(1)=1)=P(Σ(1)=1)=1/2
P(Z accolade(2)=1)=P(Σ()=2)=1/2
P(Zaccolade(1)=1 ∩ Zaccolade(2)=1)=1/2
P(Zaccolade(1)=1 ∩ Zaccolade(2)=1) ≠ P(Zaccolade(1)=1)P(Zaccolade(2)=1)
2.a) An^(m)le nombre de parties à m éléments de Fn. An^(m)=An!/(m!(An-m)!)= (An(An − 1)· · ·(An − m + 1))/m!.
b)
c)
3. fn(z) = E[z^An ] = Σ(lorsque k prend les valeurs de 0 à n) P(An=k)z^k
a) C’est une somme finie de puissance de z, avec degré au plus n. Comme P(An=k)>0 le polynôme est de degré n.
b)
c)
4.
5.a) ΦAn(t)=E[e^itAn]=fn(e^it)=
Σ(lorsque j prend les valeurs de 0 à n) ((e^(it) -1)^j)/j !
b)An ~ P(1)
La fonction caractéristique converge vers une loi de Poisson
lim(n→∞) ΦAn(t)= lim(n→∞) Σ (lorsque j prend les valeurs de 0 à n) ((e^it -1)^j)/j! = e^(e^it -1)
c)
6.
Merci d'avance pour l'aide qui sera apportée
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