[Maths]problème de mathématiques (1)

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[Maths]problème de mathématiques
Message de mimi1727 posté le 06-04-2008 à 13:44:53 (S | E | F)
Bonjour,
pouvez-vous m'aider dans cet exercice de math
je ne comprends pas la deuxième indication


Les frères Rapesous essaient d'ouvrir le coffre de la banque Piquetout.
La combinaison est une suite croissante de trois chiffres non nuls.

Dans les poches du caissier ligoté,ils découvrent les deux indications suivantes:

- la somme des chiffres est 17.
- le produit de deux quelconques d'entre eux augmenté du troisième est un carré parfait.

Quelle est la combinaison du coffre?

merci d'avance

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Réponse: [Maths]problème de mathématiques de savoirsi, postée le 06-04-2008 à 17:33:44 (S | E)
La combinaison est: 1:7:9: car (1x7)+9=16 et (7x9)+1=64 et(1x9)+7=16 avec 1+7+9=17

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Réponse: [Maths]problème de mathématiques de jordan777, postée le 06-04-2008 à 20:22:42 (S | E)
La somme des trois chiffres formant la combinaison du coffre fort vaut 17.
Le produit de deux de ces nombres auquel on ajoute le troisième donne un carré parfait (exemple : 1,4,9,16,25,36,49,64,81,100,…).

Donc,

a + b + c = 17
ab + c = X²
ac + b = Y²
bc + a = Z²

Avec X,Y et Z entiers

De plus a < b < c

Le système ci-dessus est constitué de 4 équations à 6 inconnues.
Le nombre d’équations étant différent du nombre d’inconnues, il est préférable de trouver une autre façon d’atteindre le résultat recherché.

Hypothèse :

a = 1 :

Dans ce cas, b + c = 16
Comme a b ou c sont inférieurs ou égaux à 9, la seule combinaison possible est :
(1,7,9). Les triplets tels que (1,9,7) et (1,8,8) ne peuvent pas convenir puisque la suite des trois chiffres est croissante : a < b < c

a = 2 :

Ici b + c =15 et a < b < c
Donc b = 7 et c = 8 est l’unique solution respectant les comtraintes imposées par l’énoncé.
(2,7,8) est la solution pour a = 2.

a = 3 :

b + c = 14 et a < b < c
Donc la seule solution est : (3,6,8)

a = 4 :

b + c = 13 et a < b < c
Le couple solution est : (4,5,8) et (4,6,7)
Au-delà de a = 4, il n’y a pas de solution car b et c seraient soit égaux soit dans un ordre tel que a < b < c ne serait pas respecté.

L’ensemble des combinaisons possibles représente donc les 5 triplets suivants :
(1,7,9),(2,7,8),(3,6,8),(4,5,8),(4,6,7)

Or, (a * b) + c, (a * c) + b et (b * c) + a doivent représenter des carrés parfaits.

Conclusion :

Seule la combinaison (1,7,9) est solution du problème posé.

Vérification :

1 + 7 + 9 = 17
(1 * 7) + 9 = 16 = 4²
(1 * 9) + 7 = 16 = 4²
(9 * 7) + 1 = 64 = 8²

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