[Maths]fonction (1)

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[Maths]fonction
Message de th-youssef posté le 15-04-2008 à 20:34:59 (S | E | F)
Comment svp on trouve tous les fonctions f ;
f(x) - xf(x-1) = x²(a la puissance 2) + 1

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Réponse: [Maths]fonction de magstmarc, postée le 15-04-2008 à 22:39:32 (S | E)
Hello youssef,

Problème pas très simple a priori, tu es sûr qu'il n'y a pas quelques questions au départ pour guider ? Et des précisions sur le type de fonction cherchée ?

Bon, on pourrait déjà commencer, supposant qu'une telle fonction existe (sur R), par en déduire la valeur de f(0), puis de f(1), de f(2)...et peut-être trouver par récurrence une expression de f(n) en fonction de n (n entier naturel)

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Réponse: [Maths]fonction de th-youssef, postée le 15-04-2008 à 23:06:39 (S | E)
Non c'est tous le probleme
c'est un olymbiade

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Réponse: [Maths]fonction de th-youssef, postée le 16-04-2008 à 20:24:24 (S | E)
Aide stp

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Réponse: [Maths]fonction de magstmarc, postée le 16-04-2008 à 22:16:33 (S | E)
As-tu déjà fait la première étape que j'ai suggérée ? Qu'obtiens-tu ?

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Réponse: [Maths]fonction de th-youssef, postée le 16-04-2008 à 23:03:23 (S | E)
oui j'obtiens beaucoup d'image et je dessine une graphe de f mais je viens pas a avoir la fonction f(x)

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Réponse: [Maths]fonction de marie11, postée le 17-04-2008 à 10:36:05 (S | E)
Bonjour.

Est-ce que x²(à la puissance 2) signifie x⁴ ?

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Réponse: [Maths]fonction de th-youssef, postée le 17-04-2008 à 20:20:58 (S | E)
Non c'est tot simplement x(a la puissance 2)=x²

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Réponse: [Maths]fonction de marie11, postée le 28-04-2008 à 18:02:01 (S | E)
Bonjour th-youssef.

J'ai cherché une solution en considérant x réel, mais les calculs que j'ai entrepris m'ont conduit à utiliser la fonction "Gamma"

Lien Internet
.

J'ai changé de cap, et je me suis contentée de résoudre le problème pour x entier.

Au préalable voici un lien :

Lien Internet


J'ai donc considéré la suite récurrente :
U_n = nU_n-1 + n² + 1 avec U₀ = 1

J'ai fait le changement de variables suivant :
U_n = -n - 2 + V_n

Cela me conduit à étudier la suite :

V_n = nV_n-1 + 3 avec V₀ = 3

En procédant à des itérations successives on obtient :

V_n = nV_n-1 + 3
V_n-1 = (n-1)V_n-2 + 3
donc
V_n = n(n-1)V_n-2 + 3n + 3
puis
V_n-2 = (n-2)V_n-3 + 3
donc
V_n = n(n-1)(n-2)V_n-3 + 3n(n-1) + 3n + 3
En réitérant ce calcul on obtient :
V_n = n! V₀ + 3 ( 1 + n + n(n-1) + n(n-1)(n-2) + ... +n!)
or
V₀ = 3
donc
V_n = 3( 1 + n + n(n-1) + n(n-1)(n-2) + ... +n! + n!)
Soit
V_n = 3n![( 1 + n + n(n-1) + n(n-1)(n-2) + ... +n! + n!)/n!]

D'après le lien posé en préalable, la partie entre crochet tend vers e quand n ──> +∞.
Donc

Finalement pour x entier

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