Nombres complexes (1)

Nombres complexes

Message de yopdu59 posté le 20-09-2008 à 18:46:33 (S | E | F)
Bonjour,
z^3 +(-7+3i)z² + (12-16i)z + 4(1+7i)=0
En sachant que (E) (l'équation) a une solution imaginaire du type ialpha avec alpha appartenant à R, trouvez la valeur de alpha.
Puis mettre en facteur (z-ialpha) dans le polynôme.

J'ai remplacé alpha par b (histoire que ça soit plus pratique)
J'ai (ib)^3+(-7+3i)(ib)²+(12-16i)(ib)+4(1+7i)
= -b^3 - ib²+7b²-3b²+12ib+16b+4+28i
=-b^3+7(b+2)(b-2/7)+i(-4b²+12b+28)
Mais je ne suis pas sur de mon calcul et je n'arrive pas à factoriser le Y de Z=X+iY
Merci d'avance

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Réponse: Nombres complexes de jujulapin, postée le 20-09-2008 à 19:19:12 (S | E)
Il n'y a pas de solution à votre équation...
J'ai un logiciel (DERIVE 6) de mathémaitques qui résout les équations et il me met"false", en gros qu'il n'y a pas de solution...

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Réponse: Nombres complexes de yopdu59, postée le 20-09-2008 à 19:27:07 (S | E)
Impossible l'énoncé indique qu'il y a une solution IMAGINAIRE du type ib
J'aimerai plutôt avoir une confirmation sur mes éventuelles erreurs de calcul

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Réponse: Nombres complexes de iza51, postée le 20-09-2008 à 19:53:01 (S | E)
bonsoir

tu donnes -b^3 - ib²+7b²-3b²+12ib+16b+4+28i
j'ai relevé deux erreurs:
(ib)³=-i (b³) et le "-i b² " qui sort d'on n'sait où
j'ai fait les calculs
la ligne que tu écris ensuite: inutile
il faut écrire le membre de gauche de l'équation sous forme algébrique, c'est-à dire sous la forme A+iB avec A et B complexes
puis utiliser la propriété: Z=0 si et seulement si Re(z)=0 et Im(z)=0

ou alors et c'est plus simple, tu trouves qu'il y a une "racine évidente" (tu fais des essais avec i, -i, 2i, -2i ,...

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Réponse: Nombres complexes de iza51, postée le 20-09-2008 à 22:47:36 (S | E)
(re) bonsoir
il y a bien une solution qui est un imaginaire pur pour cette équation de degré 3; son conjugué n'est pas solution (affirmation erronée ci-dessus (maintenant effacée) )

Dans C, une équation de degré n admet n solutions complexes
cette équation de degré 3 admet trois solutions dans l'ensemble des nombres complexes

note: ici l'équation est de degré 3 MAIS les coefficients ne sont pas réels!
la propriété énoncée (maintenant effacée!) est valable lorsque les coefficients sont réels

note pour jujulapin: tu as du demander les solutions réelles de l'équation et dans R, il n'y a pas de solution
ce que tu apprendras dans quelques années

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Modifié par iza51 le 21-09-2008 16:26

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Réponse: Nombres complexes de iza51, postée le 20-09-2008 à 23:14:40 (S | E)
l'équation (z-3i)(z+i)(z-1+2i)=0 est bien une équation de degré 3 et elle a de façon évidente trois solutions complexes, non réelles

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Réponse: Nombres complexes de taconnet, postée le 21-09-2008 à 09:10:27 (S | E)
Bonjour.

Soit

z³ +(-7 +3i)z² +(12 -16i)z +4(1+7i) = 0

Supposons que cette équation admette αi comme racine

Alors on a :

-iα³ -(-7 +3i)α² +(12-16i)αi + 4 + 28i = 0

soit

i(-α³ -3α² +12α + 28) +7α² +16α + 4 = 0

on doit avoir simultanément

-α³ -3α² +12α + 28 = 0
7α² +16α + 4 = 0

A vous de continuer.....

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