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Question incomprise d'un DM
Message de cathie posté le 21-09-2008 à 11:13:33 (S | E | F)
Bonjour,
j'ai un DM à faire pour demain, j'ai réussi toutes les questions sauf une que je n'ai pas comprise.
On a l'équation x^4-4x^3+2x²-4x+1 = 0
Dans a) on nous demande de vérifier que 0 n'est pas solution de l'équation.
En remplaçant x par 0 je trouve 1=0.
Ensuite c'est là que ça bloque,je ne comprends pas la question :
b) Démontrer que si x0 (0 est en indice) est solution de l'équation alors 1/x0 est solution de l'équation.
Merci d'avance pour votre aide.
Réponse: Question incomprise d'un DM de domye, postée le 21-09-2008 à 14:47:36 (S | E)
Si xo est solution alors il vérifie l'équation
( soit xo^4 - 4 xo^3 + 2 xo² -4 xo + 1 = 0 )
Il faut alors vérifier que 1/xo est aussi solution,
donc remplace x par 1/xo et réduis tout au même dénominateur ...
Réponse: Question incomprise d'un DM de cathie, postée le 21-09-2008 à 16:10:18 (S | E)
J'obtiens (1 - 4x0 + 2x0² - 4x0^3 + x0^4) / x0^4
Je ne sais pas ce que je dois faire avec ça.
Réponse: Question incomprise d'un DM de iza51, postée le 21-09-2008 à 16:17:00 (S | E)
bonjour,
il faut voir ce qu'il y a à voir
rappel: xo^4 - 4 xo^3 + 2 xo² -4 xo + 1 = 0 car x0 est solution
Alors ...
Réponse: Question incomprise d'un DM de cathie, postée le 21-09-2008 à 18:43:53 (S | E)
(x0^4 - 4x0^3 + 2x0² - 4x0 + 1) / x0^4 = 0
1 - 4/x0 + 2/x0² - 4/x0^3 + 1/x0^4 = 0
0 est une valeur interdite or dans a) on a vu que x différent de 0 donc si x0 est solution de l'équation alors 1/x0 est solution de l'équation.
Est-ce que c'est ça s'il vous plaît ?
Réponse: Question incomprise d'un DM de iza51, postée le 21-09-2008 à 18:57:53 (S | E)
oui c'est ça
Réponse: Question incomprise d'un DM de zicoo_007, postée le 21-09-2008 à 18:59:51 (S | E)
Si x0 est solution :
X0^4-4X0^3+2X0^2-4X0+1=0 (I)
Vérifions maintenant que 1/X0 est aussi solution :
Il suffit de remplacer chaque X0 dans (I) par 1/X0; on aura:
(1/X0)^4-4(1/X0)^3+2(1/X0)^2-4(1/X0)+1=0 (II)
En élevant chaque terme à sa puissance; numérateur et dénominateur, on aura:
1/X0^4-4/X0^3+4/X0^2-4/X0 +1=0 (III)
Réduisons tous les termes au même dénominateur, à savoir X0^4
((1-4X0+4X0^2-4X0^3+X0^4)/X0^4)=0 (IV)
Multiplions les 2 membres de (IV) par X0^4 on obtient:
1-4X0+4X0^2-4X0^3+X0^4=0 (V)
(V)n'est autre chose que (I): Donc on a bien démontrer que si X0 est
solution de de (I) 1/X0 l'est aussi.
Réponse: Question incomprise d'un DM de taconnet, postée le 21-09-2008 à 20:58:54 (S | E)
Bonjour.
Voici un lien intéressant sur les équations réciproques.
Lien Internet
Réponse: Question incomprise d'un DM de lahbyb, postée le 21-09-2008 à 21:45:29 (S | E)
une petite retouche pour la solution de zicoo-007
rectifications: dans (III) 2/X0^2 au lieu de 4/X02
dans (V) 2X0^2 au lieu de 4/X02
Si x0 est solution :
X0^4-4X0^3+2X0^2-4X0+1=0 (I)
Vérifions maintenant que 1/X0 est aussi solution :
Il suffit de remplacer chaque X0 dans (I) par 1/X0; on aura:
(1/X0)^4-4(1/X0)^3+2(1/X0)^2-4(1/X0)+1=0 (II)
En élevant chaque terme à sa puissance; numérateurs et dénominateurs, on aura:
1/X0^4-4/X0^3+2/X0^2-4/X0 +1=0 (III)
Réduisons tous les termes au même dénominateur, à savoir X0^4
((1-4X0+2X0^2-4X0^3+X0^4)/X0^4)=0 (IV)
Multiplions les 2 membres de (IV) par X0^4 on obtient:
1-4X0+2X0^2-4X0^3+X0^4=0 (V)
(V)n'est autre chose que (I): Donc on a bien démontrer que si X0 est
solution de de (I) 1/X0 l'est aussi.
Réponse: Question incomprise d'un DM de taconnet, postée le 22-09-2008 à 07:55:04 (S | E)
Bonjour.
je voudrais donner un autre exemple plus simple pour que l'on comprenne ce qu'est une équation réciproque.
soit
2x² - 5x + 2 = 0
C'est une équation réciproque: le coefficient de x² (2) et le terme constant (2)sont symétriques par rapport au terme médian (5x).
Cette équation admet donc deux racines x0 et 1/ x0 si le discriminant est positif (Δ > 0)
C'est le cas ici
Δ = 5² - 4*2*2 = 25 - 16 = 9
Une simple factorisation permet de déterminer les racines.
2x² - 5x + 2 = 0 <══> 2x² - 4x - x + 2 = 0 <══> 2x(x - 2) - (x - 2) = 0 <══> (x - 2)(2x - 1) = 0
On a bien :
x1 = 2
x2 = 1/2
INDISPENSABLES : 