DM, les nombres premiers (1)

DM, les nombres premiers

Message de charlemagne91 posté le 24-09-2008 à 20:05:02 (S | E | F)
Bonsoir:
Merci pour le DM de la semaine dernière, j'ai eu 20.
j'ai un autre DM à faire
Il y a deux exercices:

n°1:
Le mathématicien Toulousain Fermat énonce des résultats sans chercher à les démontrer.
Il conjecture que pour tout entier n, le nombre n exp 2 exp 2 +1 n'est pas premier.
a) vérifier pour n= 0, 1, 2,3

pour n=0, n exp 2 exp2 +1 = 3 (premier)
pour n=1, " " = 5 (premier)
pour n =2 " " = 17 (premier)
pour n =3 " " = 257(premier)

(est-ce qu'il y a une méthode autre que le crible d'Eratosthène pour trouver des nombres premier? )

b) vérifier que pour n=5 le nombre peut se diviser par 641.
n=5 je trouve 3982967292 (j'ai du faire à la main car la caluculatrice n'affiche que 10 chiffres)
si je divise par 641, je trouve un nombre à virgule.
Mais la je crois que je me trompe. est- ce que quelqun pourrait m'aider et me montrer l'erreur? comme ça je continurai lr DM
Merci d'avance.

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Réponse: DM, les nombres premiers de taconnet, postée le 24-09-2008 à 21:27:00 (S | E)
Bonjour.

Il y a une erreur dans votre énoncé :

Il, conjecture que pour tout entier n, le nombre 2²ⁿ +1 n'est pas premier. (est premier)

Si nous appelons F_n ces nombres on montre par le calcul que F₅ n'est pas premier puisqu'il est divisible par 641.

Les valeurs des nombres de Fermat pour n = 0,1,2,3 sont exactes.

Remarquez que tous ces nombres sont impairs

Vous avez trouvé F₅ = 3982967292 (nombre pair) voilà déjà une erreur !

Avec la calculatrice on peut obtenir facilement le résultat, puisqu'elle peut afficher 10 chiffres.
4--------7

Le nombre obtenu est bien divisible par 641.

F₅ n'est donc pas premier et la conjecture de Fermat est donc fausse.

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Réponse: DM, les nombres premiers de charlemagne91, postée le 28-09-2008 à 16:04:05 (S | E)
merci et désolé pour l'erreur

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