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Calcul de cos 2pi/5
Message de car0lette posté le 09-10-2008 à 19:54:29 (S | E | F)
Bonjour, j'ai un devoir maison en maths mais j'ai quelques soucis pour démarrer. Pourriez vous m'aider, me donner des pistes pour que je puisse trouver ?
On pose u = cos (2pi/5) + i sin (2pi/5)
a) Vérifier que si z est différent de 1, (1-z^5)/(1-z) = 1+z+z²+z^3+z^4
Montrer que u est solution de l'équantion 1+z+z²+z^3+z^4 = 0
b) On pose a = u+u^4 et b = u²+u^3 Montrer que a+b = -1 et ab = -1
c) En déduire que a et b sont les solutions de l'équation (E) du second degré x²+x+1 = 0
d) Exprimer a en fonction de cos (2pi/5)
e) Résoudre l'équation (E); en déduire la valeur exacte de cos (2pi/5)
Ce que j'ai trouvé :
a) j'ai vérifier que si z est différent de 1, on a (1-z^5)/(1-z) = 1+z+z²+z^3+z^4 avec les produits en croix puis j'ai développé. Pour la 2ème partie de la question j'ai remplacé 1+z+z²+z^3+z^4 par (1-z^5)/(1-z) et donc j'ai résolu (1-z^5)/(1-z)=0 ce qui me donne 1-z^5 = 0 et 1-z différent de 0, donc cela me donne aucune solution. Donc je ne vois pas comment u pourrait être solution de l'équation.
b) J'ai trouvé que a+b = -1 avec la question précédente vu que u est solution de l'équation, on peut remplacer z par u donc on trouve 1+u+u²+u^3+u^4 = 0 on passe le 1 de l'autre coté et on trouve a+b = -1.
Pour ab = -1 je ne sais pas comment m'y prendre. j'ai développé ab ce qui me donne u^3+u^4+u^6+u^7 mais je ne sais pas quoi faire avec ca.
c) je sais la faire par déduction de ce qu'on a précedemment.
d) et e) je n'ai pas du tout d'idée.
Merci de m'aider.
Réponse: Calcul de cos 2pi/5 de lagouv, postée le 09-10-2008 à 21:18:50 (S | E)
Bonsoir,
On pose u = cos (2pi/5) + i sin (2pi/5)
a) Vérifier que si z est différent de 1, (1-z^5)/(1-z) = 1+z+z²+z^3+z^4
Montrer que u est solution de l'équantion 1+z+z²+z^3+z^4 = 0
Comme tu l'as signalé, il vaut mieux remplacé 1+z+z²+z^3+z^4 par (1-z^5)/(1-z).
Etant donné qui tu as u = cos (2pi/5) + i sin (2pi/5) tu dois aussi connaitre la forme exponentielle des complexes donc u peut aussi s'ecrire sous la forme exp (2i*Pi /5) et en utilisant cette forme, tu obtiendras ce que tu veux...
b) On pose a = u+u^4 et b = u²+u^3 Montrer que a+b = -1 et ab = -1
En fait il faut encore penser à utiliser la forme exponnentielle.
Je m'explique. u=exp (2i*Pi/5)
u^6= exp (2i*Pi*6/5)= exp(2Pi *5i/5) * exp (2i*Pi/5)
On connait la valeur de la première exponnentielle... et donc on obtient une valeur connue... Et je te laisse faire la suite...
c) En déduire que a et b sont les solutions de l'équation (E) du second degré x²+x+1 = 0
Tu as dit que tu avais reussi mais personnellement je pense que ton equation doit être x²+x-1 car a est un reel et pas un complexe.De meme pour b. Donc tu dois montrer que ton equation a deux solutions REELLES donc delta doit etre positif ce qui ici n'est pas le cas.
d) Exprimer a en fonction de cos (2pi/5)
a= u+u^4 . Pour le u il n'y a pas de problème. Pour le u^4 , utilise encore la forme exponnentielle, puis de la forme exponnentielle passe à la forme cos(angle) +i*sin(angle) avec angle désignant l'angle que tu auras trouvé dans la forme exponentielle. Pense qu'il faut faire apparaitre l'angle 2pi/5. Donc il sera judicieux de penser que les cosinus et sinus des angles compris entre Pi et 2Pi peuvent s'exprimer avec des angles compris entre 0 et Pi. Et donc avec tout cela , tu pourras exprimer a en fonction de cos (2i*Pi/5)(Pour verification, a=2cos(2Pi/5) si je ne me suis pas trompée)
e) Résoudre l'équation (E); en déduire la valeur exacte de cos (2pi/5)
Tu as démontré dans la question c que a etait solution de E. Donc si tu résouds E (avec le calcul de delta) tu obtiendras deux valeurs. A toi de montrer la suite...en determinant la valeur de a
Voilà ... J'espère avoir répondu assez clairement à tes questions
Réponse: Calcul de cos 2pi/5 de taconnet, postée le 11-10-2008 à 09:34:49 (S | E)
Bonjour.
On pose u = cos 2π/5 + isin 2π/5
On veut montrer que :
1 + z + z2 + z3 + z4 = 0 si z = u
On sait que u peut s'écrire : u = e 2iπ/5
Calculons
S = e 2iπ/5 + e 4iπ/5 + e 6iπ/5 + e 8iπ/5
S*e 2iπ/5 = e 4iπ/5 + e 6iπ/5 + e 8iπ/5 + e 10iπ/5
Donc
S*e 2iπ/5 - S = e 10iπ/5 - e 2iπ/5
or
e 10iπ/5 = e 2iπ = 1
Donc
S = -1
INDISPENSABLES : 