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Message de mariee posté le 26-09-2009 à 14:03:41 (S | E | F)
Bonjour, je voudrais savoir si ce que j'ai fait suffit à repondre à la question suivante ou s'il faut que j'utilise des réels.
L'exercice est le suivant:

Soit f une fonction définie sur R
Démontrer que:
Si f est une fonction paire croissantesur l'intervalle [o; + l'inf ],alors f est décroissante sur ]-l'inf ; O].
par hypothèse j'ai :

pour 0a 0.

Voyons ce qui se passe pour :

a 0 (voir au début)

Donc pour :a 0

donc f(a) > f(b).

On sait que si a f(b) , alors la fct est décroissante.

Pour cela j'ai utiliser le théorème suivant:

Merci de vos réponses

Réponse: Fonction de polololo, postée le 26-09-2009 à 23:47:33 (S | E)
Bonsoir,

T'as fait une bonne démonstration mais malheureusment t'as commis une petite faute ,regarde le rappel ci-dessous:

Fonctions paires:

Soit une fonction f définie sur Df. On dit que f est paire si :
Df est symétrique par rapport à 0;
pour tout x dans Df, f(-x) = f(x) et son graphe est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.

Fonctions impaires:

Soit une fonction f définie sur Df. On dit que f est impaire si :
Df est symétriue par rapport à 0;
pour tout x dans Df, f(-x) = -f(x) et son graphe est symétrique par rapport à l'origine

Corrige ta faute.

Réponse: Fonction de allouz158, postée le 28-09-2009 à 04:34:22 (S | E)
il faut d'abord montrer que la fonction est paire en procédant comme suit:pour x élément de df -x élément de df et f(-x)=f(x) ce qui veut dire donc que cf est symétrique par l'axe des ordonnées donc tu t'inspire de cela pour conclure que pour f(x) croissant sur [b,+inf[ il est décroissant sur ]-inf,b]

Réponse: Fonction de mariejoa, postée le 28-09-2009 à 12:37:57 (S | E)
Bonjour,
Attention!

f(a)= - f(a) et f(b)=-f(b) car la fct est paire ceci est faux
Il faut écrire f(a)= f(-a) et f(b) =f(-b)

Si a -b
Et comme f est croissante sur R+ f(-a)>f(-b) donc f(a) >f(b)
Et là on a le résultat en utilisant le théorème .
La fonction est paire et croissante sur R+ fait partie des données.

Réponse: Fonction de taconnet, postée le 28-09-2009 à 15:59:09 (S | E)
Bonjour.

Voici ce que vous devez savoir par coeur.

1 - Fonction stictement croissante sur un intervalle I.

Définition.

Soit une fonction f définie sur un intervalle I.
On dit que f est strictement croissante sur I si et seulement si pour tout réel a et tout réel b de I, on a :
a f(a) < f(b)

2 - Fonction strictement décroissante sur un intervalle I.

Définition.

Soit une fonction f définie sur un intervalle I.
On dit que f est strictement décroissante sur I si et seulement si pour tout réel a et tout réel b de I, on a :
a f(a) > f(b)

3 - Une propriété importante.

Dire que f est strictement croissante sur un intervalle I, c'est dire que pour tout réel a et tout réel b de I, f(a) et f(b) sont rangés dans le même ordre que a et b.
On dit alors qu'une fonction strictement croissante sur un intervalle I conserve l'ordre dans cet intervalle.

Dire que f est strictement décroissante sur un intervalle I, c'est dire que pour tout réel a et tout réel b de I, f(a) et f(b) sont rangés dans l'ordre inverse de a et b .
On dit alors qu'une fonction strictement décroissante sur un intervalle I change l'ordre dans cet intervalle.

Démonstration :

On choisit l'intervalle I = ] 0 ; +∞[ des réels strictement positifs.
Soient a et b deux réels de cet intervalle tels que
a f(a) < f(b)

D'autre part la fonction est paire, on a donc f(a) = f(-a) et f(b) = f(-b)

On sait que a -a > -b

-a et -b sont donc des réels de l'intervalle I' = ]- ∞ ; 0[

Or
l'image de -a est f(-a) = f(a)
et
l'image de - b est f(-b) = f(b)

et puisque l'on a f(a) < f(b) il s'ensuit que f(-a) < b(-b)

En conséquence :

-a > -b ══> f(-a) < f(-b)

ce qui montre par définition que sur l'intervalle ] - ∞ ; 0[ la fonction f est strictement décroissante

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