Comme des milliers de personnes, recevez gratuitement chaque semaine << Forum maths || En bas
Exercice maths très difficile
Message de ddyou2002 posté le 25-10-2009 à 11:41:14
Bonjour,
Mon enfant a un exercice à la maison très difficile à résoudre ;si vous pouvez l'orienter vers la solution merci:
a,b,c réels avec a=0 a
Message de ddyou2002 posté le 25-10-2009 à 11:41:14
Bonjour,
Mon enfant a un exercice à la maison très difficile à résoudre ;si vous pouvez l'orienter vers la solution merci:
a,b,c réels avec a=0 a
Réponse: Exercice maths très difficile de taconnet, postée le 25-10-2009 à 15:00:20
Bonjour.
C'est effectivement un exercice assez difficile.
Type d'exercice que l'on propose lors des olympiades de mathématiques.
Je vous laisse chercher encore quelque temps.
voici une solution qui corrobore l'assertion.
Vous vérifierez que :
1- a < 0 et c > 0
2- a < b < c
3- a + b + c = 0
4- a² + b² + c² = 1
Réponse: Exercice maths très difficile de taconnet, postée le 28-10-2009 à 20:07:46
Bonjour.
Où en sont vos recherches ?
Voici un début de solution. Je traite le premier cas, je vous laisserai traiter le second.
Par hypothèse on donne :
a < 0 ; c > 0 et a < b < c ;
Il faut alors envisager deux cas b > 0 puis b < 0.
I- Envisageons le cas b > 0
Alors c > b <══> c² > b²
d'autre part puisque a + b + c = 0 <══> b + c = -a et l'on a alors a² = (b +c)²
La relation a² + b² + c² = 1 s'écrit alors (b + c)² + b² + c² = 1
soit après développement et simplification :
2b² + 2c² + 2bc = 1
or c² > b²
donc
2c² > 2b²
2bc > 2b² puisque c > b ( ne pas oublier que b et c sont positifs)
Par addition membre à membre il vient
2c² + 2bc > 2b² + 2b²
Et en ajoutant aux deux membres b²
On obtient finalement
2b² + 2c² + 2bc > 2b² + 2b² + 2b²
2b² + 2c² + 2bc > 6 b²
Or
2b² + 2c² + 2bc = 1
donc
Je vous laisse traiter le second cas : b < 0
C'est exactement la même démarche.
Si toutefois vous avez des difficultés je vous aiderai.
Courage ! Seul l'effort paye.
Réponse: Exercice maths très difficile de fr, postée le 28-10-2009 à 20:34:21
Bonsoir,
Il existe aussi une autre méthode :
on considère le système d'équation formé par :
a + b + c = 0
et a² + b² + c² = 1
comme un système d'équation à 2 inconnues (a et c), avec un paramètre (b),
On résout en fonction du paramètre b.
On calcule a (ou c) dans la première équation, on l'injecte dans la seconde
Pour qu'il y ait des solutions, il faut que le discriminant soit positif (on obtient une condition sur b²)
On calcule les 2 solutions, ces 2 solutions sont a et c (les équations sont symétriques par rapport à a et c, sinon pour vous en convaincre, calculez c puis remplacez dans la première équation pour obtenir a...)
De ces 2 racines, la plus petite (avec le moins devant la racine carrée) sera a et l'autre c.
On exprime que a<=0 et c>=0, on obtient alors une autre condition sur b² ...
Ensuite on exprime que a<=b<=c et on obtient une troisième condition sur b²
Cette dernière est la plus restrictive des conditions et correspond à celle demandée ...
INDISPENSABLES : 