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Message de yopdu59 posté le 22-12-2009 à 20:27:27 (S | E | F)
Bonsoir à tous,

Voilà j'ai un petit problème avec un exercice:
-J'ai démontré que 1/(k+1) < ln(k+1)-ln (k) < 1/k
en prenant t appartient à [k; k+1] puis en passant par les intégrales

-Et il faut que je déduise ln (n+1) < hn < 1+ ln (n)
avec hn = 1 + 1/2 + ... + 1/n et je suis bloqué là
J'ai essayé la même technique mais une primitive de ln (k+1) ça me fait des calculs trop compliqués.

Merci d'avance

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Réponse: Encadrement de fr, postée le 22-12-2009 à 20:40:51 (S | E)
Bonsoir,

Vous avez presque tout fait, il suffit d'appliquer l'inégalité démontrée 1/(k+1) < ln(k+1)-ln (k) < 1/k pour tous les k compris entre 1 et n pour la première partie de l'inégalité et de les sommer (et rajoutez 1) et entre 1 et n+1 pour la seconde et sommer ces inégalités ... (traitez les 2 parties de l'inégalité séparément ... )

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Réponse: Encadrement de taconnet, postée le 23-12-2009 à 09:05:59 (S | E)
Bonjour.

Lorsque vous écrivez :

J'ai essayé la même technique mais une primitive de ln (k+1) ça me fait des calculs trop compliqués.

Je suis un peu étonné, car les calculs que l'on vous demande de faire portent sur la série harmonique. L'étude de cette série relève, à ma connaissance, des classes « post-bac ».

Vous devez donc savoir intégrer, et par conséquent connaître la formule de l'intégration par parties:

Lien Internet


Un calcul simple vous permettra d'obtenir :



C est la constante d'intégration.

Remarquez que :

(xlnx - x + C)' = lnx

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