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DM inégalités

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DM inégalités
Message de misschic posté le 16-09-2010 à 18:34:48 (S | E | F)
Bonjour, j'ai un DM, dans lequel je bloque sur deux questions, et pour lesquelles j'aimerais bien avoir votre aide.

Voila mon exercice:
On considere la fonction sur R par f(x): 1/2x² - 1/4x - 3

1. Justifier les étapes du raisonnement suivant

1/4 ≤ a < b
0 ≤ a - 1/4 < b- 1/4
(a- 1/2)² < ( b-1/4)²
1/2(a- 1/4)² < 1/2(b-1/4)²
f(a) < f(b)

2/
En déduire le sens de variation de la fonction f sur [1/4; +∞[

Voila, alors pour la question 2, j'ai mit que f est croissante sur [1/4; +∞[, mais pour la premiere question, en ce qui concerne la ligne 1, j'ai mis quand on ajoute le même nombre aux 2 membres(ici-1/4) ,l'inégalité est conservée.
Et puis après je ne vois pas quoi dire

Merci d'avance pour votre aide.

Réponse: DM inégalités de taconnet, postée le 17-09-2010 à 14:42:16 (S | E)
Bonjour.

1/4 ≤ a < b

1- On retranche 1/4 aux deux membres de l'inégalité.

0 ≤ a - 1/4 < b- 1/4

2- Si deux nombres positifs sont rangés dans un certain ordre, leurs carrés sont rangés dans le même ordre

(a- 1/4)² < ( b-1/4)²

3-On ne change pas le sens d'une inégalité en multipliant ses deux membres par un nombre POSITIF

1/2(a- 1/4)² < 1/2(b-1/4)²

4-On ne change pas le sens d'une inégalité en retranchant un même nombre à ses deux membres.

1/2(a- 1/4)²-97/32 < 1/2(b-1/4)²-97/32

soit
f(a) < f(b)

Et finalement on obtient:
Quels que soient les nombres a et b de l'intervalle [1/4 ; +∞[ tels que a < b on a f(a)< f(b).

f est donc CROISSANTE sur [1/4 ; +∞[

Réponse: DM inégalités de nick94, postée le 17-09-2010 à 20:22:21 (S | E)
Bonjour
je pense qu'il y a un lapsus scriptae en 2 et qu'il s'agit de "a - 1/4" et non de "a - 1/2" de manière à s'assurer de la positivité des 2 nombres indispensable pour pouvoir affirmer " Si deux nombres sont rangés dans un certain ordre, leurs carrés sont rangés dans le même ordre" car s'ils étaient tous deux négatifs on aurait alors : " Si deux nombres sont rangés dans un certain ordre, leurs carrés sont rangés dans l'ordre inverse"

Réponse: DM inégalités de walidm, postée le 17-09-2010 à 21:21:45 (S | E)
Bonjour taconnet,
Vous dites:

2- Si deux nombres sont rangés dans un certain ordre, leurs carrés sont rangés dans le même ordre

(a- 1/2)² < ( b-1/4)²

Il faut des conditions pour affirmer cette proposition :

-6 < 1 mais on a pas(-6)^2<1^2
dans cette exercice si b est proche de 1/4 alors a sera proche aussi de 1/4
et a- 1/2 de -1/4 contrairement b-1/4 qui se rapprochera de 0 et donc le résultat ci-dessus serait inexacte.

Réponse: DM inégalités de dadil, postée le 17-09-2010 à 21:35:09 (S | E)
Bonjour,

Pour le passage de la ligne 2 à la ligne 3, il est plus simple de dire que f(x)=x^2 est strictement croissante sur

[0;+∞[.

Cordialement.

Réponse: DM inégalités de walidm, postée le 17-09-2010 à 22:03:14 (S | E)
à dadil, ce que vous dites est vrai mais il ne s'applique pas ici car a-1/2 en valeur absolue peut être supérieure à b-1/4

Réponse: DM inégalités de dadil, postée le 18-09-2010 à 09:12:33 (S | E)
A Walidm,

L"implication 0≤a-1/4<b-1/4 → (a-1/2)^2 < (b-1/4)^2 est fausse ( prendre par exemple b = 0,27 et a=0,26).

Ainsi il ne reste plus qu'à supposer qu'il y a erreur de frappe (supposition bien légitime au vu de la formulation de la 4° ligne) et justifier l'implication 0≤a-1/4<b-1/4 → (a-1/4)^2 <(b-1/4)^2 comme je le propose.

Cordialement.

Réponse: DM inégalités de walidm, postée le 18-09-2010 à 10:59:18 (S | E)
Bonjour dadil,
C'est ce que je pense!
Merci!

Réponse: DM inégalités de misschic, postée le 18-09-2010 à 18:20:57 (S | E)
Merci à vous.
En effet il s'agissait bien d'une erreur de frappe, je suis vraiment désolée. Je ferais plus attention à l'avenir.
Bonne soirée et encore merci pour votre aide.

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