Question sur fonctions

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Question sur fonctions
Message de castillan2 posté le 24-10-2010 à 19:39:05 (S | E | F)
Bonjour a tous!

J'ai un test demain, j'ai fais pas mal d'exercices mais il y en a un qui me perturbe...

Question:

Les affirmations suivantes sont-elles vraies ou fausses? Si elles sont vraies donner une justification. Si elle sont fausses donner un contre exemple.

5) Soit pp(x) un polynôme sans racine réelle, alors la fonction 1/p(x) est bornée sur [0,1].

Réponse: Cette affirmation est vraie. En effet, d'une part, puisque p(x) ne possède pas de racine, la fonction 1/p(x) est bien défine partout sur [0,1]. D'autre part, les polynômes sont des fonctions continues, on es déduit que la fonction 1/p(x) est continue sur [0,1] étant fermé, selon un théorème (mais je ne sais pas lequel) il nous est assuré que la fonction 1/p(x) est bornée...

Je suis vraiment nul en math mais si p(x)= 1/2 cela donne 1/(1/2) qui revient a dire 2/1 = 2

1/2 n'est pas une racine... donc ça contredit la réponse...

Quelqu'un a une idée?

Merci et bonne soirée

Réponse: Question sur fonctions de walidm, postée le 24-10-2010 à 20:12:53 (S | E)
Bonjour.
Pourquoi écrivez-vous: mais si p(x)= 1/2 cela donne 1/(1/2) qui revient a dire 2/1 = 2

1/2 n'est pas une racine..
ça n'a aucun lien avec l'exercice.

Réponse: Question sur fonctions de castillan2, postée le 24-10-2010 à 20:56:17 (S | E)
Justement, dans l’annoncé il est noté que p(x) est sans racine réel... 1/2 n'étant pas une racine réelle 1/p(x) serait égale a 2 et donc ne serait pas dans la borne [0,1]

Je sais que j'ai tord mais je ne sais pas me l'expliquer... c'est pourquoi je demande de l'aide...

Merci

Réponse: Question sur fonctions de iza51, postée le 24-10-2010 à 21:47:22 (S | E)
bonsoir
votre problème est de ne pas connaitre le sens des mots "racine de polynôme"
Si P(x) est un polynôme, dire que a est une racine de P(x) signifie que P(a)=0

*Le polynôme constant égal à P(x)=1/2 pour tout x réel, ne s'annule pas sur R; il n'a donc pas de racine dans R
Son inverse est bien bornée sur [0; 1] car 1/P(x) est compris entre 2 et ... 2, et ceci pour tout x de [0; 1]

* Le polynôme P(x)=x²+1 ne s'annule pas sur R; ; il n'a donc pas de racine dans R; la fonction P est une fonction croissante sur R (puisque sa dérivée est positive); P(0)=1 et P(1)=2 et pour tout x compris entre 0 et 1, P(x) est compris entre 1 et 2; l'inverse 1/(x²+1) est alors compris entre 1/2 et 1
donc la fonction 1/P est bien bornée sur [0; 1]

Réponse: Question sur fonctions de walidm, postée le 25-10-2010 à 08:58:15 (S | E)
Bonjour.
Isa s'est contentée de vous donner une fonction polynôme particulière mais le résultat est bien plus général à condition que cette fonction ne s'annule pas sur l'intervalle fermé et [0.1] car son inverse sera définie et continue sur cet ensemble fermé et borné.

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Modifié par iza51 le 25-10-2010 11:13
J'avais pensé que cela allait sans dire mais "cela va peut-être encore mieux en le disant"

Réponse: Question sur fonctions de walidm, postée le 25-10-2010 à 15:47:03 (S | E)
Bonjour isa.
L'exemple que vous avez donné permettra à castillan2 d'avoir une idée,mon intervention avait pour objectif (pour castillan2)de garder que la propriété est plus générale.
Cordialement.

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