Nb complexes

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Nb complexes
Message de nila71 posté le 05-01-2011 à 19:17:23 (S | E | F)
Bonjour à toutes et à tous.
Voilà, il me reste une dernière question à faire mais j'ai du mal
Pouvez-vous m'aider s'il vous plaît ?
Merci d'avance.
Voici la question :

On pose P(z) = z^4 - 3z^3 + (9/2)z² - 3z + 1
Ecrivez P(z) sous forme d'un produit de deux polynômes du second degré, à coefficients réels(s).
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Modifié par bridg le 05-01-2011 19:24

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Modifié par nila71 le 05-01-2011 19:32

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Réponse: Nb complexes de nick94, postée le 05-01-2011 à 21:12:54 (S | E)
Bonjour,
as-tu essayé d'écrire :
P(z) = (z² + a z + b) (z² + c z +d)
et d'identifier les coefficients après développement ?
Les calculs semblent pénibles mais doivent pouvoir aboutir.

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Réponse: Nb complexes de taconnet, postée le 05-01-2011 à 23:20:06 (S | E)
Bonjour.

On considère l'équation P(z)=0

Remarquez que l'équation proposée est une équation bi-carrée symétrique.

Remarquez que z=0 n'est pas solution de l'équation.

En déduire que cette équation peut s'écrire sous la forme:

P(z) = z² -3z + 9/2 -3/z +1/z²

Si z₀ est solution de l'équation, montrez que 1/ z₀ est aussi une solution de l'équation.

On pose alors Z = (z + 1/z), calculez Z²

Vous obtiendrez une équation du second degré en Z.

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