Les suites numériques

Les suites numériques
Message de lahcen2012 posté le 24-12-2013 à 11:39:13 (S | E | F)
Bonjour,
je n'ai pas bien compris cet exercice. Pourriez-vous m'aider à le comprendre ? S'il vous plait !
et d'avance
soit (u n) une suite numérique défénie par:
u0=0
u n+1= (2un + 1)/(un+2) n appartient à N
1) montrer en récurrence que quel que soit n dans N un est grand et égale à 0 et petit à 1
2) étudier la variation de (un)

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Réponse: Les suites numériques de djamel, postée le 24-12-2013 à 13:19:47 (S | E)
bonjour lahcen2012
1
d'abord il faut savoir par cœur les étapes d'un raisonnement par récurrence:
en effet
soit Pn la propriété à démonter et ici c'est:" pour tout n dans N on a 0<= Un < 1 "
étape 1: initialisation c'est à dire il faut vérifier que P0 est vraie.
étape 2: hérédité, on suppose que Pn est vraie et on démontre Pn+1
c'est à dire qu'on a 0<= Un < 1 et démontrons qu'on a 0<= Un+1 < 1.
étape 3: conclusion pour tout n dans N on a 0<= Un < 1.
2
pour le sens de variation il trouver le signe de Un+1 - Un
si Un+1 - Un > 0 alors Un est croissante.
si Un+1 - Un < 0 alors Un est décroissante.

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Réponse: Les suites numériques de djamel, postée le 24-12-2013 à 13:28:33 (S | E)
essaye de suivre tout ça et on corrigera ensemble après votre travail
bon courage

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Réponse: Les suites numériques de lahcen2012, postée le 24-12-2013 à 14:15:06 (S | E)
merci
pour le 1 j'ai trouvé que Un+1 est grand et égale à 2/5 et petit à 1/2 et puisque cette intervalle est inclus dans [0;1[ donc Un+1 est grand et égale à 0 et petit à 1 donc Un ....
2)Un+1 - Un = (1-Un^2)/(Un+2) Et puisque (1-Un^2)/(Un+2) est positif donc Un+1 est grand que Un donc Un est croissante.

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Réponse: Les suites numériques de djamel, postée le 24-12-2013 à 14:50:47 (S | E)
bonjour
Je ne sais pas quelle méthode vous avez utilisé.
moi j ai une méthode facile:
soit Pn la propriété suivante :"pour tout n dans N on a 0<= Un < 1"

initialisation:
on a U0=0 donc P0 est vraie

hérédité:
on suppose que Pn est vraie et on démontre que Pn+1 aussi.
en effet:
par hypothèse de récurrence on a 0<= Un <1
premier sens: 0 <= Un+1:
d'après la définition de la suite Un on a Un+1 = (2Un+1)/(Un+2)
donc Un+1 >= 0 car Un >=0.
deuxième sens Un+1 < 1:
pour cela on calcul Un+1 - 1 et on cherche le signe:

Un+1 - 1 = (Un - 1)/(Un+2)
or Un - 1<0 et Un +2>0 d'après l'hypothèse de récurrence donc Un+1 - 1<0 donc Un+1<1
d'où : 0<= Un+1 <1 donc Pn+1 est vraie.

Conclusion:
pour tout n dans N on a 0<= Un < 1

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Réponse: Les suites numériques de lahcen2012, postée le 24-12-2013 à 21:53:09 (S | E)
merci
et pour la 2ème question. est ce que c'est juste ce que j'ai fait ?

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Réponse: Les suites numériques de rulna, postée le 25-12-2013 à 00:43:59 (S | E)
Bonsoir, c'est bon. La prochaine fois, pourrais tu écrire < ou > au lieu de "grand" s'il te plaît? (Parce que j'ai eu du mal à comprendre ta première question (un grand égal 0 ) ^^')


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Modifié par rulna le 25-12-2013 00:44

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Réponse: Les suites numériques de lahcen2012, postée le 25-12-2013 à 11:16:45 (S | E)
bonjour;
merci d'abord
d'accord la prochaine fois je vais faire ce que vous m'avez dit

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