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Message de lahcen2012 posté le 08-01-2014 à 22:49:10 (S | E | F)
Bonjour,
Pouvez m'aider dans cet exercice, s'il vous plaît ?
Et merci à tous les personnes qui me répondront
Soit ABC un triangle rectangle en B et a et b sont des longueurs respectifs des côtes [AB] et [BC] et c la longueur de l'hypoténuse [AC]
Montrer que: (1+c/a)(1+b/c)≥ 3+2√2
Ma réponse;
J'ai essayé de développer (1+c/a)(1+b/c) et j'ai trouvé un calcul très compliqué.
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Modifié par bridg le 09-01-2014 00:14
Message de lahcen2012 posté le 08-01-2014 à 22:49:10 (S | E | F)
Bonjour,
Pouvez m'aider dans cet exercice, s'il vous plaît ?
Et merci à tous les personnes qui me répondront
Soit ABC un triangle rectangle en B et a et b sont des longueurs respectifs des côtes [AB] et [BC] et c la longueur de l'hypoténuse [AC]
Montrer que: (1+c/a)(1+b/c)≥ 3+2√2
Ma réponse;
J'ai essayé de développer (1+c/a)(1+b/c) et j'ai trouvé un calcul très compliqué.
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Modifié par bridg le 09-01-2014 00:14
Réponse: Une aide de imadcherki, postée le 09-01-2014 à 13:43:52 (S | E)
Bonjour lahcen2012,
En effet, c'est (1+c/a)(1+c/b)≥ 3+2√2 et ce n'est pas (1+c/a)(1+b/c)≥ 3+2√2
Je te donne un indice:
(1+c/a)(1+b/c)= …. (c’est facile à toi de le faire )
Utilise le théorème de Pythagore a²+b²=c² et aussi utilise ( ∀(a,b)∈R+) : a²+b²≥ 2ab et conclus
Réponds à ces questions pour me montrer que tu as bien compris
(
A toi de jouer maintenant )Réponse: Une aide de tiruxa, postée le 09-01-2014 à 15:14:06 (S | E)
Bonjour Lahcen,
J'ai quelques doutes sur l'énoncé, pourrais tu le vérifier ? merci
Prenons un exemple classique (mais il y en a d'autres)
En effet si AB = a = 3 et BC = b = 4 alors AC = c =5
On a c/a= 5/3 et b/c = 4/5
donc (1+c/a)*(1+b/c) = (8/3) * (9/5) = 72/15 qui est inférieur à 5 donc à 3+2* racine(2)
Réponse: Une aide de lahcen2012, postée le 09-01-2014 à 21:23:14 (S | E)
Bonjour,
Je te remercie infiniment Imadcherki, j’ai fait maintenant l’exercice seul grâce à toi. Voici donc la réponse :
On utilisant le théorème de Pythagore et a²+b²≥2ab on trouve : c²=a²+b² et donc c² ≥2ab et puisque c ≥0 donc c≥√2ab ( la relation f)
Et on a (1+c/a)(1+c/b)=1+c(1/a+1/b)+c²/ab=1+c(a+b/ab)+(a²+b²/ab)
Et puisque a²+b²≥2ab donc (a^2+b^2)/ab≥2 et a+b≥2√ab et c≥√2ab ( la relation f) donc c(a+b) ≥2√2ab ⟹2√3
Donc (1+c/a)(1+b/c)≥ 3+2√2
Merci encore fois à toi Imad !
Réponse: Une aide de tiruxa, postée le 09-01-2014 à 22:22:52 (S | E)
Ok,
Donc en fait c'était (1+c/a)(1+c/b) ≥ 3+2√2
et non pas (1+c/a)(1+b/c)≥ 3+2√2
Réponse: Une aide de imadcherki, postée le 10-01-2014 à 14:10:09 (S | E)
Bonjour,
Bravo
. Mais dans cette étape c≥√2ab ( la relation f) donc c(a+b) ≥2√2ab ⟹2√3. Tu dois signalé que c est positif.Autre méthode:
Tu peux utiliser cette règle de " kochi chwartz " directement: (∀(a,b,x,y)∈R^4) : (x+y)(a+b)≥(√ax+√by)².
Bravo et excellent lahcen2012 !
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