Espace vectoriel

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Espace vectoriel
Message de hayti posté le 05-05-2019 à 21:41:12 (S | E | F)
Bonjour, s'il vous plaît aidez moi. Merci d'avance. Soit E ensemble des fonctions f définis sur R par :f(x)+f(y)=2f((x+y)/2) . montrer que (E,+,.) est un espace vectoriel réel ? j'essaie de montrer que E est un sous espace vectoriel de(F(R,R),+,.). on a:f(0)+f(o) =2f((0+0)/2) ainsi E n'est plus vide. et aussi E est inclus dans (F(R,R),+,.). Mais j'arrive pas à prouver que E est stable pour l'addition et que E est stable pour le produit externe. Merci de m'indiquer la marche à suivre.

Réponse : Espace vectoriel de hicham15, postée le 05-05-2019 à 22:03:02 (S | E)
Bonjour

Je pense pas que tu as arrivé à démontrer que E est non vide !!

Pour dire que E est non vide, tu dois trouver un élément appartenant à E, dans ce cas cet élément doit être une fonction.

Alors, tu dois chercher une fonction qui appartenant à E (alors elle vèrifie la condition : pour tous x et y de R: f(x) +f(y) =....)

Souvent, penser au zero de l'esp vect de reference ( ici, la fonction nulle) pour prouver que E non vide. On a dans ce cas la fonction nulle appartient à E. Pourquoi ?? Prouve-le.

Bonne journée

Réponse : Espace vectoriel de hicham15, postée le 05-05-2019 à 22:12:14 (S | E)
Pour la stabilité par addition :
Soient deux fonctions vérifiant la condition : pour tous x et y....
Puis prouver que leur somme le vérifie aussi.

Pour la stabilité par la multiplication par le scalaire : même démarche (soit f verifiant.... Et m un reel : puis prouve que m*f verifie....)

Bon courage

Réponse : Espace vectoriel de hayti, postée le 06-05-2019 à 06:45:42 (S | E)
Bonjour,une fonction nulle est une fonction constante dont l'image est zéro.donc f(x)+f(y)=2f(x+y/2) ⇔ 0+0=2(0+0/2) alors a mon avis la fonction nulle appartient a E.Pour la stabilité par addition :
Soient deux fonctions f et g vérifiant la condition : pour tous x et y dans R .f(x)+f(y)+g(x)+g(y)=2f(x+y/2)+2g(x+y/2) ,vraiment je ne vois comment la prouver.Pour la stabilité par la multiplication par le scalaire :soit f∈E et β∈R β(F(X)+F(Y)= βF(X+Y/2)?! la aussi je bloque. merci a tous qui auront l gentillesse de me répondre.

Réponse : Espace vectoriel de tiruxa, postée le 06-05-2019 à 08:40:18 (S | E)
Bonjour,

Tu oublies d'utiliser la définition de la somme de deux fonctions

(f+g)(x)=f(x)+g(x) pour tout réel x

et le produit d'une fonction par un scalaire réel k

(k.f)(x)= k . f(x) pour tout réel x

Réponse : Espace vectoriel de hayti, postée le 06-05-2019 à 11:55:04 (S | E)
Bonjour,(f+g)(x)+(f+g)(y)=2(f+g)((x+y)/2)⇔f(x)+f(y)+g(x)+g(y) =2f((x+y)/2)+2g((x+y)/2) alors ainsi je peux dire que E est stable pour la loi + .??merci infiniment.

Réponse : Espace vectoriel de hayti, postée le 06-05-2019 à 11:58:20 (S | E)
bonjour,merci beaucoup hicham15 et tiruxa.

Réponse : Espace vectoriel de star132, postée le 12-05-2019 à 20:04:05 (S | E)
Bonjour je suis nouvelle je voudrai savoir comme je peux simplifier les vecteurs suivant AB+CD et AD+ÇA merci d'avance et j'espère ne pas être déçu c'est pour un devoir

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