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    Clôture de relation d'équivalence

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    Clôture de relation d'équivalence
    Message de dedros posté le 01-06-2020 à 01:38:43 (S | E | F)
    Bonjour,

    Je viens ici pour demander un petit coup de main par rapport a la cloture de relation d'équivalence sur base d'un diagramme de classe.

    Je pense avoir compris qu'une relation d'équivalence doit etre reflective, symetrique et transitive, ceci étant connu je pensais qu il suffisait d'effectuer la complétion de ces 3 conditions afin d'obtenir le resultat de la cloture.

    Seulement lorsque je fais cela, j'obtiens un résultat bien complexe (du genre rempli de lien entre les differents elements (le diagramme est composé de 12 elements à la base))

    La correction de la cloture montre un résultat bien moins rempli que celui que j'ai effectuer et je n'arrive pas à comprendre comment ^^'

    Si quelqu'un s'y connaissant pouvait m'expliquer les étapes de la cloture d'équivalence, je lui en serait grandement reconnaissant !

    La relation de base est ainsi formée :

    R = (3,4), (4,4), (5,5), (5,10), (6,3), (6,7), (7,2), (7,3), (8,8), (9,6), (10,5), (11,8), (12,10)

    Le resultat attendu donne la solution suivante (schéma simplifié sans notation de la réflexivité ni sens de flèche (simplement elements relier entre eux)) :

    Cloture = (2,3), (2,4), (2,6), (2,7), (2,9), (5,10), (5,12), (8,11)

    Ne manque-t-il pas de relations dans ce résultat si on suit la logique de cloture reflective, symetrique et transitive ?

    Merci d'avance !


    Réponse : Clôture de relation d'équivalence de tiruxa, postée le 01-06-2020 à 12:18:19 (S | E)
    Bonjour,

    Bon, si l'on doit obtenir une relation d'quivalence en complétant le diagramme cela donne ceci :

    Si l'on raisonne en classes d'équivalence, d'après le schéma de départ, il y en a 4 :

    C1={1} ,car 1 n'est en relation qu'avec lui même
    C2={2,3,4,6,7,9}
    C3={5,10,12}
    C4={8,11}

    Dans chaque classe chaque élément est relié à chaque élément de la classe, donc il suffit de rajouter les flèches manquantes.

    Dans C4, il manque 8 R 11, 11 R 11
    Dans C3, 10 R 12, 10 R 10, 12 R 12
    Dans C1, 1 R 1
    Dans C2 c'est là qu'il en manque le plus
    2 doit être en relaton avec 2, 3, 4, 6, 7 et 9
    3 avec 2, 3, 6,7 et 9
    4 avec 2, 3, 6, 7 et 9
    6 avec 2,3,4,6 et 9
    7 avec 4,6,7 et 9
    9 avec 2, 3,4 ,7 et 9

    Comme vous voyez il en manquerait pas mal ... (de plus 5 R 10 figurait déjà au départ...)

    Maintenant il est possible que l'on ne veuille pas toutes les trois propriétés... il faudrait avoir le texte exact de l'énoncé.



    Réponse : Clôture de relation d'équivalence de dedros, postée le 01-06-2020 à 12:38:09 (S | E)
    Cet exercice est utilisé dans un exemple théorique du cours, difficile d'obtenir un contexte précis de ce dernier :/

    Seul deux précision sont donnés :

    1) Soit R, relation quelconque sur E
    On appelle clôture équivalente de R la plus petite relation d'équivalence sur E incluant R, autrement dit (R u R^-1).

    2) ATTENTION : Dans cette oppération de clôture, il est essentiel de pratiquer la clôture transitive après la clôture symétrique.

    Votre réponse ainsi obtenu est semblable a la mienne, seulement la réponse donné regroupe par exemple bien 2 avec 3,4,6,7,9 (peut etre en classe?)
    mais ces autre chiffre ainsi liés avec deux eux ne sont relier a aucun autre element que 2, ce que j'ai bien du mal a comprendre ^^'
    7,6,9, 4 et 3 n'ont que des liaison avec 2 dans cette solution a croire que la cloture d'équivalence de classe se simplifie par rapport a une cloture classique ?



    Réponse : Clôture de relation d'équivalence de tiruxa, postée le 01-06-2020 à 15:12:37 (S | E)
    Là franchement je ne comprends pas moi non plus...

    Un exemple : on a au départ (9,6) et (6,7) ce qui signifie 9 R 6 et 6 R 7, donc par simple transitvité 9 R 7.

    On devrait au moins trouver (9,7) dans la réponse or il n' y est pas.

    Il y a bien d'autres cas de ce type...

    Enfin comme je le disais précédemment (5,10) figure à la fois dans le diagramme initial et dans la solution, c'est aberrant !

    Je vous conseillerais de poser la question à celui qui a rédigé le cours si vous le pouvez.



    Réponse : Clôture de relation d'équivalence de puente17, postée le 02-06-2020 à 14:54:51 (S | E)
    Bonjour,

    Tiruxa tu as donné la partition associée à la relation d'équivalence demandée,la clôture de la relation de départ, et je ne vois pas ce qui gêne dans le texte, la réponse est là:
    C1=[1]
    C2=[2,3,4,6,7,9]
    C3=[5,10,12]
    C4=[8,11]


    et pour les puristes: P= [[1],[2,3,4,6,7,9],[5,10,12],[8,11]]

    Désolé les accolades ne veulent pas 'passer'??




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