Integration

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Message de baraw posté le 26-06-2020 à 04:24:08 (S | E | F)
Hi,
How to integrate with respect to x, 1/(a + 3x^3) where a is a real number

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Réponse : Integration de tiruxa, postée le 26-06-2020 à 11:18:44 (S | E)
Bonjour,

Sur votre fiche vous dites parler français donc je vous répond ainsi.

Si a est nul c'est facile.
Si est non nul, le dénominateur se factorise, en une somme de cubes ou une différence de cubes suivant le signe de a.


Ensuite on décompose en éléments simples c'est à dire en une somme du type k/Q + P'/Q' où k est un réel, Q et P' sont des polynômes degré un et Q un polynôme de degré 2.

Ces deux fonctions rationnelle k/Q et P'/Q' ont des primitives connues.

Bon travail

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Réponse : Integration de tiruxa, postée le 26-06-2020 à 15:40:57 (S | E)
J'ai oublié de préciser que le produit des dénominateurs QQ' doit donner le dénominateur de départ soit a/3+x^3 (si on a mis 3 en facteur).

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Réponse : Integration de puente17, postée le 29-06-2020 à 11:51:12 (S | E)
Bonjour tiruxa,

pourrais-tu expliciter:"le dénominateur se factorise, en une somme de cubes"
d'autre part je pense que c'est Q' qui est de degré 2, je le mets car c'est 'perturbant' si déjà on rame un peu .

je propose un exemple en essayant de suivre ton idée.

1/(1+x^3) = a/[(1+x) (x²-x+1)] = a/(1+x) + (bx+c)/(x²-x+1)
après résolution: a=1, b= -1 et c = 0 (sauf erreur)
et donc: 1/(1+x^3) = 1/(1+x) - x/(x²-x+1) ces 2 derniers termes s'intègrent normalement sans problème.

Reste à généraliser au cas demandé par un changement de variable de la forme u = kx avec k une constante a bien choisir.

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Réponse : Integration de tiruxa, postée le 29-06-2020 à 15:17:15 (S | E)
Bonjour Puente17

En effet c'etait Q' et non pas Q, j'ai sans doute tapé un peu vite ce jour là...

pour moi factoriser "en une somme de cubes" c'était en utlisant l'identité remarquable a^3+b^3.... ok un raccourci un peu osé, j'admets volontiers.

Mais pour ton exemple je trouve a=1/3, b=-1/3 et c=2/3

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Réponse : Integration de puente17, postée le 30-06-2020 à 16:59:30 (S | E)
bonjour,

Ups!,

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