Accueil du site pour apprendre le français Créer un test / 1 leçon par semaine
Connectez-vous !

Cliquez ici pour vous connecter
Nouveau compte
4 millions de comptes créés

100% gratuit !
[Avantages]

  • Accueil
  • Accès rapides
  • Imprimer
  • Livre d'or
  • Plan du site
  • Recommander
  • Signaler un bug
  • Faire un lien

  • Comme des milliers de personnes, recevez gratuitement chaque semaine une leçon de français !





    > Publicités :




    > Recommandés:
    -Jeux gratuits
    -Nos autres sites
       



    Compréhension- exo principe des tiroirs

    Cours gratuits > Forum > Forum maths || En bas

    [POSTER UNE NOUVELLE REPONSE] [Suivre ce sujet]


    Compréhension- exo principe des tiroirs
    Message de curio136 posté le 05-07-2020 à 18:07:28 (S | E | F)
    Bonjour,

    Voici un exemple de l'utilisation du principe des tiroirs trouvé dans un livre (Les olympiades des mathématiques Réflexes et stratégies 2ème édition, Tarik Belhadj Soulami, édition ellipses):

    (Comme je ne sais pas utiliser les formules latex, j'utiliserai ci-dessous des parenthèses pour les indices et des crochets pour le plus petit entier supérieur à ...)



    "Un grand maître joue au moins une partie d'échecs par jour pour garder la forme, mais pas plus de 10 par semaine pour ne pas se fatiguer. Prouver que s'il joue ainsi suffisamment longtemps, il y aura une période continue de jours pendant laquelle il aura joué exactement 21 parties.


    Soit a(i) le nombre de parties disputées jusqu'au jour i inclus. On a alors

    1 <= a(1) < a(2) <...< a(k) <= 10×[k/7] , k=1,2,...

    On en déduit que

    22 <= a(1)+21 < a(2)+21 <...< a(k)+21
    <= 10×[k/7]+21 , k=1,2,...

    Pour k suffisamment grand, l'inégalité 2k > 21+10×[k/7] devient vraie. Il s'ensuit qu'il existe deux indices i et j tels que a(j) = a(i)+21. Le grand maître aura alors disputé 21 rencontres pendant la période s'étalant entre le jour i +1 et le jour j inclus."


    Pourrais t'on m'expliquer comment on aboutit à a(j) = a(i)+21
    grâce à 2k > 21+10×[k/7]

    Le lien m'échappe totalement...


    Réponse : Compréhension- exo principe des tiroirs de tiruxa, postée le 06-07-2020 à 15:31:25 (S | E)
    Bonjour

    tous les a(i), i = 1 à k et tous les a(j)+21, j= 1 à k sont superieurs à 1 et STRICTEMENT inférieurs à 2k, soit 2k-1 entiers possibles pour 2k nombres entiers, les a(i) et les a(j)+21.

    D'après le principe des tiroirs, il y a deux de ces entiers, au moins, qui sont égaux (dans le même tiroir), or ce ne sont pas les a(i) entre eux ni les a(j)+21 entre eux, donc il existe au moins un a(i) qui est égal à un a(j)+21.

    Pour terminer cela se produit par exemple au bout de6 semaines, soit k=42.




    Réponse : Compréhension- exo principe des tiroirs de curio136, postée le 06-07-2020 à 19:44:18 (S | E)
    Merci beaucoup de votre réponse, maintenant je comprends bien mieux



    Réponse : Compréhension- exo principe des tiroirs de tiruxa, postée le 08-07-2020 à 16:37:47 (S | E)
    Juste une précision concernant la suite d'inégalités :

    1 <= a(1) < a(2) <...< a(k) <= 10×[k/7] , k=1,2,...

    Je ne suis pas d'accord sur les valeurs de k, en effet si on prend k=1 ou k=2.... ou k=6

    on a alors [k/7]=0 et 10*[k/7]=0 et la suite d'inégalité est fausse car on a 1 à gauche et 0 à droite soit 0<1 !!

    Par contre si on prend k= 7 pas de soucis 10*[k/7]=10 ce qui correspond aux données de l'énoncé (10 parties au plus par semaine),

    de même pour k=14, on a 10*[k/7]= 20 ce qui est bien le nombre maximum de parties sur deux semaines.

    Donc k doit être un multiple de 7 pour que la suite d'inégalités soit vraie.

    Il faut écrire :
    1 <= a(1) < a(2) <...< a(k) <= 10×[k/7] , k=7,14,...
    oubien
    1 <= a(1) < a(2) <...< a(k) <= 10×[k/7] , k/7=1,2,...

    mais cela ne change pas la suite du raisonnement, puisqu'on utilise l'inégalité pour k/7=6 soit k=42.




    [POSTER UNE NOUVELLE REPONSE] [Suivre ce sujet]


    Cours gratuits > Forum > Forum maths










    Partager : Facebook / Twitter / ... 


    > INDISPENSABLES : TESTEZ VOTRE NIVEAU | GUIDE DE TRAVAIL | NOS MEILLEURES FICHES | Les fiches les plus populaires | Une leçon par email par semaine | Aide/Contact

    > COURS ET EXERCICES : Abréviations | Accords | Adjectifs | Adverbes | Alphabet | Animaux | Argent | Argot | Articles | Audio | Auxiliaires | Chanson | Communication | Comparatifs/Superlatifs | Composés | Conditionnel | Confusions | Conjonctions | Connecteurs | Contes | Contraires | Corps | Couleurs | Courrier | Cours | Dates | Dialogues | Dictées | Décrire | Démonstratifs | Ecole | Etre | Exclamations | Famille | Faux amis | Français Langue Etrangère / Langue Seconde |Films | Formation | Futur | Fêtes | Genre | Goûts | Grammaire | Grands débutants | Guide | Géographie | Heure | Homonymes | Impersonnel | Infinitif | Internet | Inversion | Jeux | Journaux | Lettre manquante | Littérature | Magasin | Maison | Majuscules | Maladies | Mots | Mouvement | Musique | Mélanges | Méthodologie | Métiers | Météo | Nature | Nombres | Noms | Nourriture | Négations | Opinion | Ordres | Orthographe | Participes | Particules | Passif | Passé | Pays | Pluriel | Politesse | Ponctuation | Possession | Poèmes | Pronominaux | Pronoms | Prononciation | Proverbes | Prépositions | Présent | Présenter | Quantité | Question | Relatives | Sports | Style direct | Subjonctif | Subordonnées | Synonymes | Temps | Tests de niveau | Tous/Tout | Traductions | Travail | Téléphone | Vidéo | Vie quotidienne | Villes | Voitures | Voyages | Vêtements

    > NOS AUTRES SITES GRATUITS : Cours mathématiques | Cours d'espagnol | Cours d'allemand | Cours de français | Cours de maths | Outils utiles | Bac d'anglais | Learn French | Learn English | Créez des exercices

    > INFORMATIONS : Copyright - En savoir plus, Aide, Contactez-nous [Conditions d'utilisation] [Conseils de sécurité] [Plan du site] Reproductions et traductions interdites sur tout support (voir conditions) | Contenu des sites déposé chaque semaine chez un huissier de justice | Mentions légales / Vie privée / Cookies.
    | Cours et exercices de français 100% gratuits, hors abonnement internet auprès d'un fournisseur d'accès.