Accueil du site pour apprendre le français Créer un test / 1 leçon par semaine
Connectez-vous !

Cliquez ici pour vous connecter
Nouveau compte
4 millions de comptes créés

100% gratuit !
[Avantages]

  • Accueil
  • Accès rapides
  • Imprimer
  • Livre d'or
  • Plan du site
  • Recommander
  • Signaler un bug
  • Faire un lien

  • Comme des milliers de personnes, recevez gratuitement chaque semaine une leçon de français !





    > Publicités :




    > Recommandés:
    -Jeux gratuits
    -Nos autres sites
       



    Quadrilatères inscriptibles

    Cours gratuits > Forum > Forum maths || En bas

    [POSTER UNE NOUVELLE REPONSE] [Suivre ce sujet]


    Quadrilatères inscriptibles
    Message de integrator posté le 13-10-2020 à 07:36:31 (S | E | F)

    Bonjour à tous,

    Problème proposé par moi:

    Pour quelles valeurs de n , le quadrilatère ABCD est inscriptible où AB = n , BC = n + 1 , CD = n + 2 , DA = n + 3 et n est un entier naturel.Merci beaucoup!

    Avec respect,

    Integrator,




    Réponse : Quadrilatères inscriptibles de integrator, postée le 21-10-2020 à 17:04:58 (S | E)
    Bonjour à tous,

    Quelle est la condition pour qu'un quadrilatère soit inscrit dans un cercle?Le problème que j'ai proposé a-t-il des solutions?Si oui, quelles sont ces solutions? Si non , prouver qu'il n'a pas des solutions ...Merci beaucoup!

    Avec respect,

    Integrator,



    Réponse : Quadrilatères inscriptibles de astarus, postée le 22-10-2020 à 13:28:38 (S | E)
    Salut ! Je ne suis pas un expert en géométrie mais je pense avoir une idée qui pourrait te guider.

    Avant toute chose, une propriété très importante :
    Dans tout quadrilatère inscriptible, les angles opposés sont supplémentaires.

    À partir de là le mieux selon moi est de raisonner selon la valeur des angles, par disjonction de cas :

    -si ABCD à deux angles droits consécutifs, alors il est impossible de le construire avec les valeurs des longueurs imposées,

    -s'il possède un angle droit, en B par exemple, et supposons pour fixer les idées (c'est-à-dire que cette supposition n'impacte pas la validité du raisonnement) que l'angle en C mesure entre 0° exclus et 90° exclus également. Raisonnons par l'absurde en supposant ABCD inscriptible. Que peux-tu dire sur la mesure de l'angle en D ? Et en A ? Et de la longueur AC^2 selon que tu considères le triangle ABC ou ADC ?

    -dans le cas où ABCD ne possède aucun angle droit, supposons que l'angle en B mesure entre 90° exclus et 180° exclus (Attention : cette supposition influence le résultat, il faudra donc refaire le raisonnement mais cette fois-ci pour l'angle en B mesurant entre 0° exclus et 90° exclus !). Raisonnons de même par l'absurde en supposant ABCD inscriptible et étudions la valeur de AC^2...

    -------------------
    Modifié par astarus le 22-10-20 13:30





    Réponse : Quadrilatères inscriptibles de integrator, postée le 25-10-2020 à 06:24:34 (S | E)

    Salut 'astarus',

    Il est évident qu'aucun angle ne peut être un angle droit!

    Êtes-vous en train de dire qu'il n'y a pas d'entier naturel n pour lequel il y a un quadrilatère inscrit dans un cercle?Si nous notons DA=n+3=x, alors que pouvons-nous dire à propos de x?Merci beaucoup!

    Avec respect,

    Integrator





    Réponse : Quadrilatères inscriptibles de astarus, postée le 11-11-2020 à 17:29:58 (S | E)
    Bonsoir Integrator,

    Si ABCD possède un seul angle droit, cela semble en effet évident qu'il n'est pas inscriptible, mais tout l'intérêt de l'exercice est de le montrer selon moi.

    Sinon je ne vois pas exactement pourquoi s'intéresser à AD en particulier. J'ai résolu cet exercice de mon côté, j'ai en effet trouvé que ABCD n'est jamais inscriptible avec les conditions imposées sur les longueurs de ses côtés, mais je me suis surtout intéressé au diagonales de ce quadrilatère. :-)

    Astarus.



    Réponse : Quadrilatères inscriptibles de wab51, postée le 11-11-2020 à 18:15:29 (S | E)

    Bonsoir 

    Problème interessant et très attirant .Si vous le permettez ,je commencerais par donner certaines figures interessantes et au fur et à mesure ,je présenterais mon analyse et la méthode .





    Réponse : Quadrilatères inscriptibles de wab51, postée le 11-11-2020 à 18:26:06 (S | E)

    Lien internet





    Réponse : Quadrilatères inscriptibles de wab51, postée le 11-11-2020 à 18:39:46 (S | E)

    Lien internet





    Réponse : Quadrilatères inscriptibles de wab51, postée le 11-11-2020 à 21:41:25 (S | E)

    Bonsoir
    *Le quadrilatère convexe ABCD est inscriptible ssi les angles ϴ et Ф sont supplémentaires (ϴ + Ф = 180°)ou encore ssi cos(ϴ)=-cos(Ф) .
    *application de la formule d'Al Hashi dans chacun des triangles quelconques ABD et BCD (h=diagonale=BD):
    h²=a²+d²-2ad*cos(ϴ)=b²+c²-2bc*cos(Ф)=b²+c²+2bc*cos(ϴ) d'où
    cos(ϴ)=(a²+d²-b²-c²)/(2(bc+ad)(est un nombre) ↔
    a)Calculer :1-cos²(ϴ)en utilisant technique de calcul "identité remarquable -différence de deux carrés pour aboutir au résultat du numérateur égal à:
    N=(a+d+b-c)(a+d+c-b)(a+b+c-d)(b+c+d-a)(produit de quatre facteurs).
    b)Exprimer N en fonction de p qui désigne le demi-périmètre c'est à dire 2p=périmètre=a+b+c+d donc p=(a+b+c+d)/2 .
    c)Tout calcul fait et en sachant que 1-cos²(ϴ)=sin²(ϴ),on obtient finalement que

    sin²(ϴ)=(4*(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)/(bc+ad)² soit donc sin(ϴ)=2*sqrt[(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)]/(bc+ad)d'où ϴ=arcsin[2*sqrt(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)/(bc+ad)].

    c)Remplacer a,b,cet d respectivement par n,n+1,n+2 et n+3
    En espérant ne pas avoir fait d'erreur de calcul,je pense peut-etre que le plus gros travail a été fait ,je vous laisse continuer la suite .(voir figure ci dessous).

     





    Réponse : Quadrilatères inscriptibles de wab51, postée le 11-11-2020 à 21:46:11 (S | E)

    Vous pouvez vous aider de la figure suivante 

     

     Bon chemin de continuation et bon courage (l'arme secrete est la patience).Merci





    Réponse : Quadrilatères inscriptibles de astarus, postée le 13-11-2020 à 14:16:33 (S | E)
    Bonjour wab51 !

    Fascinant, je pensais pourtant ne pas avoir fait d'erreur, et je trouvais qu'il n'y avait aucun quadrilatère de la sorte inscriptible. J'ai également utilisé Al Kashi et les diagonales. Je vais revoir mon travail à la lumière de ce nouveau raisonnement. (Je serais également curieux de savoir si Integrator a aussi tenté de résoudre ce problème qui est le sien ! 😀).

    Astarus.



    Réponse : Quadrilatères inscriptibles de integrator, postée le 16-11-2020 à 07:45:57 (S | E)

    Mon raisonnement:

    1) En calculant les diagonales , nous obtenons .

    2) Si nous notons  , nous obtenons ecuațiile:

    À partir des deux équations du point 2) et en tenant compte du point 1) , nous obtenons:

       et donc à la fin nous obtenons que  

    Conclusion:

    Pour tout  il y a un quadrilatère convexe inscrit dans un cercle!Merci à 'wab51' j'ai refait mes calculs! Merci beaucoup 'wab51'!Des milliers de remerciements!

    P.S.

    Des milliers d'excuses pour l'inattention et les erreurs de calcul faites en omettant la multiplication par les dénominateurs de  et de certains termes des deux équations!

    Modifié par moi, aujourd'hui 27.11.2020.

    Modifié par moi, aujourd'hui 27.11.2020 l'heure de Roumaine 22:53



    -------------------
    Modifié par integrator le 27-11-2020 21:55





    Réponse : Quadrilatères inscriptibles de integrator, postée le 16-11-2020 à 08:13:42 (S | E)
    Bonjour "wab51",

    Je ne comprends pas comment de cette Lien internet
    vous avez obtenu A=79 et C=102?
    Merci beaucoup!

    Avec respect,

    Integrator



    Réponse : Quadrilatères inscriptibles de wab51, postée le 16-11-2020 à 21:37:28 (S | E)

    Bonsoir integrator

    Bien lire  la démonstration du message du 11/11/2020 à 21h41'25"et de la conclusion comment "trouver et calculer Ө pour n donné à partir de "arcsin(Ө)" et bien sur la représentation n'est qu'un cas de figure d'un exemple traité pour plus de lucidité .
    Pour la construction ,je pense que le problème est facile puisque n est fixé et Ө connu (après calcul).Brièvement,on trace Ө =(Ax,Ay)à partir d'un point A donné. Puis ,sur [Ax) et [Ay) on positionne respectivement B et A tel que AB=n=1 et AD=n+3=4 .Enfin ,on trace deux cercles de centres respectifs B et C ,et rayons respectifs R_B=n+1=2 et R_C=n+2=3.Le point d'intersection de ses deux cercles est le 3ème sommet C du quadrilatère inscriptible ABCD et de cotés entiers consécutifs 1,2,3 et 4

     Bin cordialement .


    -------------------
    Modifié par wab51 le 16-11-2020 21:40





    Réponse : Quadrilatères inscriptibles de integrator, postée le 17-11-2020 à 06:17:23 (S | E)
    Bonjour "wab51",

    Je ne comprends pas!Quelle est la formule pour calculer l'angle Φ en fonction de p, a, b, c, d?Merci beaucoup!

    Avec respect,

    Integrator



    Réponse : Quadrilatères inscriptibles de integrator, postée le 24-11-2020 à 15:07:49 (S | E)
    Bonjour "wab51",

    Avez-vous supprimé votre dernier message parce que vous avez compris mon raisonnement? Si oui, répondez à ma dernière question, que je répète:

    "Quelle est la formule pour calculer l'angle Φ en fonction de p, a, b, c, d?"Merci beaucoup!

    Avec respect,

    Integrator



    Réponse : Quadrilatères inscriptibles de wab51, postée le 24-11-2020 à 15:58:56 (S | E)

    Bonjour integratore
    J'avais supprimé mon dernier message pour cause "mal rédigé" et peut-être mal fait comprendre.
    Ce que je n'arrive pas toujours à comprendre "travaillant sur les mêmes équations trouvées et en faisant la logique de tous les modes de calcul ,je n'aboutis pas à retrouver vos derniers résultats de calcul tout en conservant vos hypothèses et vos consignes de travail.
    *Si j'ai bien compris:
    -A partir du système des deux équations de 2),on trouve X et puis en remplaçant cosA et cosB dans l'expression de X ce qui donne un X fonction de n .Et là,je ne vois pas du tout comment vous avez fait pour ressortir k1 et k2?
    De votre coté,vous ne donnez aucun détail ou une explication qui peut aider quelqu'un à suivre ou vérifier ses résultats .Tout ça,pour comprendre votre méthode sans aucune arrière pensée de mise en cause de votre raisonnement.

     

    Voilà,peut-etre encore un petit pouce d'explications et les choses seront claires.Merci 





    Réponse : Quadrilatères inscriptibles de integrator, postée le 25-11-2020 à 06:24:17 (S | E)

    Bonjour "wab51",

    Il est évident que  et donc  où .On sait que toute équation de forme 

    peut avoir des racines dans  avec la condition  , en d'autres termes, le nombre  est parmi les diviseurs du nombre 

    J'espère que mon raisonnement est clair maintenant....

    Avec respect,

    Integrator





    Réponse : Quadrilatères inscriptibles de wab51, postée le 26-11-2020 à 00:24:38 (S | E)

    Personnellement, je n'ai jamais rencontré cette dernière formule ou propriété. Je ne m'en doute pas mais je ne la connaissais pas mais à vrai dire "c'est celle là qui faisait le tourbillon pour peut-être ne pas voir plus "donc j'admets".
    Mais si vous le permettez encore ,voulez-voulez-bien répondre à cette question:
    Le nombre trouvé n égal à 1 ,ne répond t il uniquement et simplement qu'à l'existence d'un seul quadrilatère inscriptible de longueurs de cotés entiers naturels successifs 1,2,3 et 4? ou encore à d'autres quadrilatères de même nature avec des longueurs telles 2,3,4 et 5 ou bien 7,8,9 et 10 par exemples ? (autrement dit pour tout quadruplet entiers ,ordonnées ou bien cette valeur change suivant le quadruplet que l'on choisit.)
    *Je n'avais pas oublié de répondre à votre question .Voilà ma réponse .Merci beaucoup.


    -------------------
    Modifié par wab51 le 26-11-2020 06:13





    Réponse : Quadrilatères inscriptibles de wab51, postée le 26-11-2020 à 00:27:18 (S | E)

    Voici la démonstration à votre précédente question

     

     Bien amicalement .





    Réponse : Quadrilatères inscriptibles de integrator, postée le 26-11-2020 à 07:15:02 (S | E)

    Bonjour "wab51",

    Veuillez écrire la formule directement pour le calcul d'angle  en fonction de p, a, b, c, d et donc sans utiliser la formule  .Merci beaucoup!

    Integrator





    Réponse : Quadrilatères inscriptibles de wab51, postée le 26-11-2020 à 18:39:41 (S | E)
    Bonsoir integrator
    Il faut bien le dire "pourquoi tenez-vous encore à cette forme de formule de Ѱ? dont non seulement vous la connaissez bien et de plus ne rentre pas en ligne de compte dans les calculs de votre méthode de raisonnement à prouver l'existence et les valeurs possibles de n.Je ne me doutais pas de vos compétences pour aller beaucoup chercher à proposer en parallèle une autre voie de solution si ce n'est cette vision de complémentarité que j'avais proposée dans un autre cadre tout à fat indépendant de tout votre travail qui a été "en suggérant une méthode de construction " et peut-etre voir ça comme un petit plus ."Une idée plus ,un pas avant"et là,je pense est plus grand plaisir partagé par nous tous.

    Pour cette partie "construction géométrique":on ne saurait construire un tel quadrilatère de nature particulière à partir uniquement des quatre longueurs entiers consécutifs sans chercher à déterminer une deuxième dimension "au plus un angle ,mais pas n'importe quel angle !Il faut qu'il soit nécessairement "l'angle formé à partir de deux cotés consécutifs dont le choix le plus simple est "le sommet A et les deux cotés [AB] (AB=n) et
    [AD] (AD=n+3).(ce qui explique la ligne de la feuille de route de tous mes interventions dans tous mes précédents messages).
    Comme je vous l'avais précédemment expliqué, je ne sais pourquoi cette question de formulation de Ф plus spécifiquement en fonction de p,a,b,c et d?
    mais je réponds quand même :
    -Déjà ,vous pouvez évidemment la trouver facilement vous-même.
    -De plus,c'est typiquement même les étapes de calcul que j'avais développées pour trouver Ө.Ce qui va peut-être vous étonné c'est qu'on trouve
    "identiquement la même chose" mais n'oublions pas aussi cette deuxième condition qui lie Ф et Ө (l(un dans l'autre) par supplémentarité.
    Bien amicalement -Très bonne soirée .Merci à vous .Bonne chance à tous



    Réponse : Quadrilatères inscriptibles de integrator, postée le 26-11-2020 à 19:57:40 (S | E)
    Bonsoir "wab51",

    En conclusion, êtes-vous d'accord qu'il n'y a qu'un seul quadrilatère convexe inscrit dans un cercle, à savoir celui pour lequel n = 1?Merci beaucoup!

    Avec respect,

    Integrator



    Réponse : Quadrilatères inscriptibles de integrator, postée le 26-11-2020 à 20:05:03 (S | E)

    Citation de 'astarus'
    'Réponse : Quadrilatères inscriptibles de astarus, postée le 13-11-2020 à 14:16:33 (S | E)
    Bonjour wab51 !

    Fascinant, je pensais pourtant ne pas avoir fait d'erreur, et je trouvais qu'il n'y avait aucun quadrilatère de la sorte inscriptible. J'ai également utilisé Al Kashi et les diagonales. Je vais revoir mon travail à la lumière de ce nouveau raisonnement. (Je serais également curieux de savoir si Integrator a aussi tenté de résoudre ce problème qui est le sien ! 😀).

    Astarus.'


    Bonsoir 'astarus',

    J'attends avec impatience votre nouveau raisonnement!Merci beaucoup!

    Avec respect,

    Integrator





    Réponse : Quadrilatères inscriptibles de wab51, postée le 27-11-2020 à 00:42:58 (S | E)

    Bonsoir integrator
    En réponse à votre dernière question " En conclusion, êtes-vous d'accord qu'il n'y a qu'un seul quadrilatère convexe inscrit dans un cercle, à savoir celui pour lequel n = 1?"
    Oui,pour le cas n=1,il n'existe qu'un seul quadrilatère convexe inscriptible ABCD dans un cercle et de cotés de longueurs entiers naturels successifs 1,2,3 et 4.
    Mais ,il faut aussi s'entendre à bien préciser qu'il existe d'autres cas similaires :  
    *pour n=2 existe le seul quadrilatère inscrit2,3,4 et 5
    *pour n=3 existe le seul quadrilatère inscrit3,4,5 et 6
    *pour n=4 existe le seul quadrilatère inscrit 4,5,6 et 7
    *......................................................
    *et ainsi de suite.???
    *On peut aussi conclure de cet ensemble de quadrilatères que l'aire du 1er quadrilatère cas n=1 est celui de la plus petite aire .
    Voici ,résumé de quelques  résultats sur ce tableau et que l'on peut s'amuser encore à revérifier par le calcul. Merci 

     





    Réponse : Quadrilatères inscriptibles de wab51, postée le 27-11-2020 à 12:05:52 (S | E)

    Ou encore avec un second tableau : produit des diagonales =somme des produits des cotés opposés 

      Je pense que c'est la fin-Merci et très bonne journée 





    Réponse : Quadrilatères inscriptibles de integrator, postée le 27-11-2020 à 12:46:07 (S | E)

    Bonjour "wab51",

    J'ai commis deux erreurs impardonnables dans mes calculs pour les coefficients  et ....et en ce sens j'ai édité mon message du 16.11.2020 à 07:45:57. Veuillez relire mon message modifié "Réponse : Quadrilatères inscriptibles de integrator, postée le 16-11-2020 à 07:45:57 (S | E)".

    Merci beaucoup pour votre insistance à résoudre ce problème correctement!J'essaierai de faire plus attention aux calculs!Merci beaucoup!À bientôt!

    Avec un profond respect,

    Integrator

     

     





    Réponse : Quadrilatères inscriptibles de wab51, postée le 27-11-2020 à 15:30:33 (S | E)
    Bonjour integrator
    Comprenez bien !et soyez plus compréhensible !et plus raisonnable!
    Votre problème a certes des solutions mais pas comme vous voulez le démontrer et vous pouvez honnêtement et modestement accepter de dire que votre dit raisonnement est tout à faux .Relisez bien et revérifiez ce que vous écrivez et vous découvrirez encore pas uniquement des erreurs de calcul que l'on peut admettre à la limite acceptable mais pire encore des fautes graves de logique ,de déduction,...Cette petite correction n'a fait qu'empirer les choses comme "mettre de l'essence dans le feu".
    1)Faites une petite preuve de petit calcul élémentaire :n entier naturel donné dans l'énoncé et quand n'est-il de k2 ,pour n =0,ou n=1 ?
    2)Un jeu de mot "si nous notons n+3=x" .Il ne s'agit pas d'une notation mais d'un changement de variable de n en x ,autrement dit tout ce qui est appelé n devient x autrement dit vos deux équations transformées ne doivent figurer que la variable x et non pas des n et des x ?
    3)Une conclusion d'abord fausse (voir n?) déduite du ciel.
    4)Enfin et ce qui a mis la poudre dans le feu ,c'est fameux raisonnement erroné.
    Et j'en passe.
    Ne m'en voulez pas.J'ai participé à cette discussion ,je dois signaler les anomalies .
    Mes considérations les plus respectueuses .Salut.



    Réponse : Quadrilatères inscriptibles de integrator, postée le 27-11-2020 à 20:08:36 (S | E)
    Bonsoir "wab51",

    Vous avez raison, je vais à nouveau vérifier les calculs!Je pense que mon raisonnement est correct!Merci beuacoup!

    Avec respect,

    Integrator



    Réponse : Quadrilatères inscriptibles de wab51, postée le 27-11-2020 à 21:13:54 (S | E)
    Merci integrator pour votre aimable sympathie et votre grande sagesse .De bon coeur,mes sincères respects et mes considérations les plus profondes .
    Oui, vous êtes fort et courageux. Votre sujet est prodigieux et très intéressant .Merci integrator et bonne chance .



    Réponse : Quadrilatères inscriptibles de integrator, postée le 27-11-2020 à 22:19:50 (S | E)
    Bonsoir "wab51",

    J'ai fait les corrections promises en ré-éditant et j'attends votre avis et j'espère que je n'ai plus commis d'erreur ... ...Merci beaucoup!
    Vous avez toute ma considération pour votre patience en général mais surtout sur ce sujet! Des milliers d'excuses pour mes erreurs de calcul car je ne suis pas mathématicien mais seulement ingénieur en bâtiment à la retraite, mais je suis très passionné par les mathématiques, la physique, et la cosmogonie!A bientôt avec un nouveau problème ...

    Avec un profond respect et des milliers de remerciements,

    Integrator




    [POSTER UNE NOUVELLE REPONSE] [Suivre ce sujet]


    Cours gratuits > Forum > Forum maths










    Partager : Facebook / Twitter / ... 


    > INDISPENSABLES : TESTEZ VOTRE NIVEAU | GUIDE DE TRAVAIL | NOS MEILLEURES FICHES | Les fiches les plus populaires | Une leçon par email par semaine | Aide/Contact

    > COURS ET EXERCICES : Abréviations | Accords | Adjectifs | Adverbes | Alphabet | Animaux | Argent | Argot | Articles | Audio | Auxiliaires | Chanson | Communication | Comparatifs/Superlatifs | Composés | Conditionnel | Confusions | Conjonctions | Connecteurs | Contes | Contraires | Corps | Couleurs | Courrier | Cours | Dates | Dialogues | Dictées | Décrire | Démonstratifs | Ecole | Etre | Exclamations | Famille | Faux amis | Français Langue Etrangère / Langue Seconde |Films | Formation | Futur | Fêtes | Genre | Goûts | Grammaire | Grands débutants | Guide | Géographie | Heure | Homonymes | Impersonnel | Infinitif | Internet | Inversion | Jeux | Journaux | Lettre manquante | Littérature | Magasin | Maison | Majuscules | Maladies | Mots | Mouvement | Musique | Mélanges | Méthodologie | Métiers | Météo | Nature | Nombres | Noms | Nourriture | Négations | Opinion | Ordres | Orthographe | Participes | Particules | Passif | Passé | Pays | Pluriel | Politesse | Ponctuation | Possession | Poèmes | Pronominaux | Pronoms | Prononciation | Proverbes | Prépositions | Présent | Présenter | Quantité | Question | Relatives | Sports | Style direct | Subjonctif | Subordonnées | Synonymes | Temps | Tests de niveau | Tous/Tout | Traductions | Travail | Téléphone | Vidéo | Vie quotidienne | Villes | Voitures | Voyages | Vêtements

    > NOS AUTRES SITES GRATUITS : Cours mathématiques | Cours d'espagnol | Cours d'allemand | Cours de français | Cours de maths | Outils utiles | Bac d'anglais | Learn French | Learn English | Créez des exercices

    > INFORMATIONS : Copyright - En savoir plus, Aide, Contactez-nous [Conditions d'utilisation] [Conseils de sécurité] [Plan du site] Reproductions et traductions interdites sur tout support (voir conditions) | Contenu des sites déposé chaque semaine chez un huissier de justice | Mentions légales / Vie privée / Cookies.
    | Cours et exercices de français 100% gratuits, hors abonnement internet auprès d'un fournisseur d'accès.