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    Pair ou impair

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    Pair ou impair
    Message de silence posté le 27-11-2020 à 22:15:52 (S | E | F)
    Salut!
    Voilà une toute petite question:
    On donne a² impair, montrer que a est pair
    Merci d'avance


    Réponse : Pair ou impair de roseodile, postée le 28-11-2020 à 07:20:25 (S | E)
    Bonjour, attention le carré d'un nombre pair est pair et le carré d'un nombre impair est impair.
    Bonne journée



    Réponse : Pair ou impair de silence, postée le 28-11-2020 à 14:18:16 (S | E)
    Ah, oui. Pardon pour mon inattention. Je voulais dire si a² impair montrer que a est impair.



    Réponse : Pair ou impair de hicham15, postée le 28-11-2020 à 15:08:46 (S | E)
    Bonjour
    Il y a différentes méthodes pour le montrer.
    Je vais te proposer une de ces méthodes.

    "Si (a-b) est pair alors a et b ont la même parité." (Une technique)

    Je te laisse montrer que (a^2 - a) est pair.

    Bonne journée



    Réponse : Pair ou impair de tiruxa, postée le 28-11-2020 à 15:28:15 (S | E)
    Bonjour Silence,

    la méthode d'Hicham est belle et astucieuse mais si tu n'y arrives pas tu peux aussi raisonner par l'absurde

    Dans cette méthode, on suppose que a est pair... etc



    Réponse : Pair ou impair de silence, postée le 28-11-2020 à 16:14:10 (S | E)
    Voilà ce que j'avais trouvé:
    a^2-a=a(a-1)
    -si a est pair:
    a=2k (k appartient à l'ensemble N)
    a-1=2k-1
    a(a-1)=2k(2k-1)
    =4k^2-2k
    =2(2k^2-k)
    Alors: a(a-1) pair d'où a^2-a pair
    -Si a est impair:
    a=2k+1
    a-1=2k+1-1
    =2k
    a(a-1)=(2k+1)2k
    =4k^2+2k
    =2(2k^2+k)
    Alors a(a-1) est pair d'où a^-a est pair
    Donc a^2-a est pair, c'est à dire que a^2 et a sont de même parité. Puisque a^ est impair donc a est impair.
    Est-ce comme ça?
    Bon, merci infiniment hicham15 et tiruxa



    Réponse : Pair ou impair de hicham15, postée le 28-11-2020 à 16:24:00 (S | E)
    Oui, c'est parfait.
    Ce que tu as fait est bon, mais voici une astuce que tu dois apprendre (dès maintenant, c'est utile)

    a et (a-1) sont deux nombres consécutifs(si l'un est impair, l'autre est pair) donc leur produit est pair.

    C'est ça l'astuce : " le produit de deux nombres consécutifs est pair".

    En fait, dans ton message précédent, tu as montré ce résultat. Souviens toi de ces deux techniques ( même parité et nombres consécutifs)

    Je te conseille d'essayer de trouver le résultat par la méthode que Tiruxa t'as proposé (l'absurde).

    Bonne journée



    Réponse : Pair ou impair de silence, postée le 28-11-2020 à 16:59:55 (S | E)
    Bonne conseil, merci.



    Réponse : Pair ou impair de wab51, postée le 28-11-2020 à 22:06:27 (S | E)
    Bonsoir
    Je rejoins la ligne avec ce troisième type de raisonnement logique usuel et peut-être un autre petit + pour le besoin éventuel utile dans l' avenir.
    Sans doute ,je sais à l'avance que tu le saurais au moins bien compris (si ce n'est déjà fait) et bien le faire .Ce principe est le suivant :
    Si on demande de prouver une proposition avec une implication (⇒ )entre deux propositions P et Q qui est si P alors Q et qu'on' écrit en symboles logiques : (PQ) il suffit de prouver que (non Q) ⇒ (non P) et ce n'est d'autre qu'un principe de raisonnement qu'on appelle "raisonnement par contraposée"
    et comme autre résultat à retenir "une implication et sa contraposée sont équivalentes. Elles sont simultanément vraies ou simultanément fausses".
    Partant de l'énoncé : a entier. Montrer que si a² est entier impair alors a est entier impair ?
    Méthode:raisonnement par contraposée.
    *la contraposée de a² impair ⇒ a impair est la proposition a pair a² pair
    Démonstration :Soit donc a pair ... (Je vous laisse continuer le raisonnement parce que tu sais très bien le faire .Comme je l'avais précédemment dit "une méthode en plus est une autre clef en plus ).Merci



    Réponse : Pair ou impair de silence, postée le 29-11-2020 à 14:13:52 (S | E)
    Ah, oui, c'est ça exactement. J'avais lu à propos "le raisonnement par contraposée", mais je ne savais pas comment le faire. Grace à cous je sais maintenat. Merci infiniment wab51.
    si a pair donc:
    a=2k
    a^2=(2k)^2
    =4k^2
    =2*2k^2
    donc a^2 pair



    Réponse : Pair ou impair de tiruxa, postée le 29-11-2020 à 14:40:33 (S | E)
    La contraposée et le raisonnement par l'absurde sont assez proches.

    Tout ce que tu as fait est juste et peut servir aussi si on raisonne par l'absurde, il suffit juste de rajouter à la fin:

    or a² est impair donc l'hypothèse ("a pair") est absurde, donc a est impair.



    Réponse : Pair ou impair de silence, postée le 29-11-2020 à 17:03:16 (S | E)
    Bonjour tiruxa, merci
    Pouvez-vous m'expliquer ce résonnement d'absurde??



    Réponse : Pair ou impair de tiruxa, postée le 30-11-2020 à 12:02:00 (S | E)
    Bonjour,

    Le raisonnement par l'absurde s'utilise ainsi:
    On souhaite démontrer que l'affirmation A est vraie.

    On va supposer que A est fausse et raisonner avec les différentes hypothèses de l'énoncé et on doit arriver à une conclusion qui contredit une donnée de l'énoncé.
    On en déduit alors que A ne peut pas être fausse donc qu'elle est vraie.

    Ici on souhaite démontrer que a est impair, on va donc supposer que ceci est faux c'est à dire que a est pair.

    on a alors a=2n où n est entier, donc a²=4n²=2*k où k=2n² donc a² est pair
    ce qui contredit le fait que a² est impair par hypothèse.

    C'est donc absurde, donc a ne peut être que impair.

    Un autre exemple :

    Démontrons par l’absurde que 0 n’a pas d’inverse.
    On suppose que 0 a un inverse a, alors a × 0 = 1.
    Or, 0 × a = 0, on aboutit donc à 0 = 1, ce qui est absurde.
    Donc 0 n’a pas d’inverse.

    Il y a plein d'autres exemples...



    Réponse : Pair ou impair de silence, postée le 30-11-2020 à 12:46:44 (S | E)
    Merci vivement tiruxa, je comprends maintenant.




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