Théorie des ensembles

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Théorie des ensembles
Message de libniz posté le 16-02-2021 à 20:34:07 (S | E | F)
Bonsoir à tous. S'il vous plait j'ai un problème sur cet exercice. J'aimerais avoir de l'aide.

Exercice:

Soit $X$ un ensemble. Pour $f\in F(X,X)$ , on définit $f^{0} = id$ , et par récurrence pour $n\in N, f^{n+1} = f^{n} o f$ .

1. Montrer que $\forall n\in N f^{n+1} = f o f^{n}$ .

2. Montrer que si f est bijective, alors $\forall n\in N, (f^{-1})^{n} = (f^{n})^{-1}$ .

J'ai fait la première question par récurrence sur n, mais je n'arrive pas à faire la deuxième. Svp j'ai besoin d'aide.

Merci d'avance.

Réponse : Théorie des ensembles de tiruxa, postée le 17-02-2021 à 10:34:21 (S | E)
Bonjour,

la récurrence fonctionne aussi pour la 2.

Il faut utiliser le résultat de la 1 et le fait que si f et g sont bijectives, (fog)^(-1) = g^(-1) o f^(-1)

Réponse : Théorie des ensembles de libniz, postée le 17-02-2021 à 17:01:07 (S | E)
       soit P(n) la proposition $"(f^{-1})^{n} =(f^{n})^{-1} "$

     Montrons que P(n) est vraie $\forall n \in N$

    $.$ Vérifions que P(0) est vraie

ici il faut montrer que $(f^{-1})^{0} = (f^{0})^{-1}$ .

je sais que $(f^{0})^{-1} = (id)^{-1} = id$ , car d'après l'énoncé de l'exercice, $f^{0} = id$ .

Mais comment montrer aussi que $(f^{-1})^{0} = id ?$

$.$ Montrons que $\forall n \in N$ , $P(n)\Rightarrow P(n+1)$

   Soit $n\in N$ , Supposons P(n) vraie et montrons que P(n+1) vraie

On a:

           $P(n) vraie$ $\Rightarrow (f^{-1})^{n} = (f^{n})^{-1}$

                        $\Rightarrow (f^{-1})^{n} o f^{-1} = (f^{n})^{-1} o f^{-1}$

En utilisant le résultat de la 1 et le fait que si f et g sont bijectives, (fog)^(-1) = g^(-1) o f^(-1), je montre que $(f^{n})^{-1} o f^{-1} = (f^{n+1})^{-1}$

Mais comment montrer que $(f^{-1})^{n} o f^{-1} = (f^{-1})^{n+1}$ ?

Merci pour votre réponse

Réponse : Théorie des ensembles de tiruxa, postée le 17-02-2021 à 18:00:21 (S | E)
Bonjour,

Les notations données au début de l'énoncé sont valables pour tout f de F(X,X), f n'est pas un élément particulier, donc comme f^-1 est aussi élément de F(X,X) ces notations sont valables pour elle.

Donc (f^(-1))^0 =Id

et (f^(-1))^n o f^(-1) =(f^(-1))^(n+1)

Réponse : Théorie des ensembles de libniz, postée le 17-02-2021 à 22:01:50 (S | E)
Bonsoir.
Okay. C'est clair à présent pour moi. Je doutais pour aussi utiliser les formules du départ pour f^-1.
Merci beaucoup pour votre aide🙏

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