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    Polynôme dérivés

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    Polynôme dérivés
    Message de crnt79 posté le 22-02-2021 à 18:49:03 (S | E | F)
    Soit f la fonction définie sur R par f(x) = ax2 +bx + c
    5) déterminer a, b et c pour que la courbe Cf représentative de f passe par A(1;5) et B(0; -3) et admette en A une tangente parallèle à la droite D d’équation : y=3x - 1
    6) existe il un ou des points de Cf ou la tangente passe par les points C(0;2) ? Donner leurs coordonnées.
    Merci


    Réponse : Polynôme dérivés de wab51, postée le 22-02-2021 à 21:46:06 (S | E)
    Bonsoir
    Pour Q-1)
    On détermine les valeurs de a,b et c à partir d'un système de trois équations à trois inconnues .Il suffit de traduire les données du problème :
    1)les deux premières équations traduisent chacune que chacune des coordonnées des deux points A(1,5) et B(0,-3) de la courbe C_f vérifient l'équation :f(x)=ax²+bx+c .Quand à la troisième équation ,elle s'obtient en appliquant :
    a) deux droites parallèles ont même coefficient directeur et la définition du nombre dérivé de f au point A d'abscisse 1 qui est f'(1) (à calculer) est égal au coefficient directeur de la droite D d'équation y=3x-1 (parallèle à la tangente au point A(1,5) .
    2)Puis résoudre le système obtenu
    Répondez déjà aux questions de cette marche à suivre ,puis on s'occupera de la Q-6 par la suite .Bon courage



    Réponse : Polynôme dérivés de crnt79, postée le 23-02-2021 à 14:05:50 (S | E)
    je n’arrive pas à trouver les équations traduisant les coordonnées des points À et B



    Réponse : Polynôme dérivés de wab51, postée le 23-02-2021 à 14:23:17 (S | E)
    la courbe Cf représentative de f passe par A(1;5) et B(0; -3) et a pour équation y=ax²+bx+c
    *Les coordonnées de A sont x=1 et y=5 .Il suffit de remplacer ses deux valeurs dans l'équation et on a une 1ère équation 5=a(1)²+b(1)+c soit
    a+b+c=5.
    Faire meme calcul pour le point B dont les coordonnées sont x=0 et y=-3 pour obtenir une 2ème équation donnant directement la valeur de c?



    Réponse : Polynôme dérivés de crnt79, postée le 23-02-2021 à 14:39:13 (S | E)
    merci !
    pour c on trouve alors (-3)?



    Réponse : Polynôme dérivés de wab51, postée le 23-02-2021 à 14:54:38 (S | E)
    Bien, donc c=-3 .
    Comment s'écrit alors la précédente 1ère équation a+b+c=5 avec c=-3 ?



    Réponse : Polynôme dérivés de crnt79, postée le 23-02-2021 à 14:55:05 (S | E)
    on obtient donc a +b = 8 ?



    Réponse : Polynôme dérivés de wab51, postée le 23-02-2021 à 15:05:20 (S | E)
    Bien ,donc a+b=8 (1ère équation).Il faut donc chercher de trouver une 3ème équation en a et b pour avoir un système de deux équations à deux inconnues a et b ,pour ensuite le résoudre et trouver a et b?
    Je vous avais déjà donné précédemment une indication et une explication en utilisant le nombre dérivé . Y a t il un problème ? sinon poser votre question .( une remarque "avez vous fait les dérivées "?)



    Réponse : Polynôme dérivés de crnt79, postée le 23-02-2021 à 15:11:14 (S | E)
    oui oui j’ai fait la dérivation précédemment.
    on obtient alors f’(1) = 3 ?
    est ce qu’il faut utiliser l’équation de la tangente pour la 2nd équation du système ?



    Réponse : Polynôme dérivés de wab51, postée le 23-02-2021 à 15:26:19 (S | E)
    f'(1)=3 donc le nombre dérivé de f en x=1 est f'(1)=3 .
    Quelle est la dérivée f'(x) de f(x) =ax²+bx+c puis donner f'(1) (en fonction de a et b ).Déduire l'équation ?



    Réponse : Polynôme dérivés de crnt79, postée le 23-02-2021 à 15:36:18 (S | E)
    pour f’(x) = a2x + b ?



    Réponse : Polynôme dérivés de crnt79, postée le 23-02-2021 à 15:37:01 (S | E)
    donc on a pour équation 2a + b ?



    Réponse : Polynôme dérivés de wab51, postée le 23-02-2021 à 15:42:31 (S | E)

    f'(1)=3 et f'(1)=2a+b donc 2a+b=3 (3ème équation) . Voilà , il suffit de résoudre le système suivant pour trouver les valeurs de a et de b 

      





    Réponse : Polynôme dérivés de wab51, postée le 23-02-2021 à 15:43:38 (S | E)

     





    Réponse : Polynôme dérivés de crnt79, postée le 23-02-2021 à 15:46:14 (S | E)
    j’ai résous le système et j’ai obtenu pour a = -5 et pour b=13
    donc on obtient l’équation : -5x2 + 13x - 3 ?



    Réponse : Polynôme dérivés de wab51, postée le 23-02-2021 à 16:04:09 (S | E)
    donc on obtient l’équation : -5x2 + 13x - 3 ?corrigé ,l'équation s'écrit y=-5x²+13x-3 ,ou bien on écrit la fonction f telle que f(x)=-5x²+13x-3 qui est définie bien sur dans R puisque c'est une fonction polynome .

    Pour la Q-6)
    Soit x_0 un réel ,quelle est l'équation de la tangente à C_f au point d'abscisse x_0 ? sachant que f(x)=-5x²+13x-3 .
    (pour écrire au carré c.a.d (²) 2 en exposant ,appuyer sur la touche tout à fait en haut à gauche sous Echarp)

    -------------------
    Modifié par wab51 le 23-02-2021 16:05





    Réponse : Polynôme dérivés de crnt79, postée le 23-02-2021 à 16:09:21 (S | E)
    D’accord merci.
    Pour l’équation de la tangente au point d’abscisse 0 j’ai trouvé : y=13x - 3



    Réponse : Polynôme dérivés de wab51, postée le 23-02-2021 à 16:17:23 (S | E)
    Oui, l'équation y=13x-3 est celle de la tangente en x=0.Mais je pense que mon choix d'écriture de x_0 vous a introduit en erreur en pensant qu'il s'agit de 0 ,non !Prenons un autre caractère e à la place de 0 ou de x_0 pour éviter toute ambiguïté et donner l'équation de la tangente cette fois en fonction de e ?



    Réponse : Polynôme dérivés de crnt79, postée le 23-02-2021 à 16:20:09 (S | E)
    excusez-moi je comprends pas quel abscisse je dois prendre



    Réponse : Polynôme dérivés de crnt79, postée le 23-02-2021 à 16:23:09 (S | E)
    coefficient directeur sera donc 3, et l’équation commencera par y = 3x
    ?



    Réponse : Polynôme dérivés de wab51, postée le 23-02-2021 à 16:24:07 (S | E)
    un abscisse réel quelconque que l'on désigne par la lettre e . Encore un conseil : n'oublier pas de développer et réduire l'expression de l'équation de cette tangente en e ( c.a.d sous la forme y =mx+p)



    Réponse : Polynôme dérivés de crnt79, postée le 23-02-2021 à 16:25:19 (S | E)
    est ce y = 3x -5 ?



    Réponse : Polynôme dérivés de crnt79, postée le 23-02-2021 à 16:27:07 (S | E)
    3x-e ?



    Réponse : Polynôme dérivés de wab51, postée le 23-02-2021 à 16:31:05 (S | E)
    l'équation de la tangente à C_f au point d'abscisse e s'écrit : y=f'(e)(x-e)+f(e) , (je sais sans aucun doute que vous le saviez) .
    Développer et réduire pour l'avoir sous la forme y=mx+p



    Réponse : Polynôme dérivés de crnt79, postée le 23-02-2021 à 16:36:40 (S | E)
    y = ex + e ?



    Réponse : Polynôme dérivés de wab51, postée le 23-02-2021 à 16:42:16 (S | E)
    y = ex + e ? malheureusement faux - vous n'aviez pas montré le développement de vos calculs pour savoir où se situe l'erreur)
    En fait f(e)=-5e²+13e-3 et f'(e)=-10e+13 .A vous



    Réponse : Polynôme dérivés de crnt79, postée le 23-02-2021 à 16:48:46 (S | E)
    en effet c’était une erreur de compréhension de ma part.
    que dois-je faire par la suite ?
    (je n’ai pas souvenir d’avoir fait ce type d’exercice en classe)



    Réponse : Polynôme dérivés de wab51, postée le 23-02-2021 à 17:07:51 (S | E)
    Peut-etre,une erreur de compréhension de votre part mais je me rends compte aussi que j'avais fait un mauvais choix avec la lettre e qui risque de porter confusion avec le nombre fixe "e" du népérien .Bon ,et pour éviter toute anomalie ,optons pour la lettre "t" qui désigne un réel quelconque
    et rien ne va changer au raisonnement et dans ses conditions l'équation de la tangente à C_f au point d'abscisse x=t s'écrit cette fois :
    y=f'(t)(x-t)+f(t) avec f(t)=-5t²+13t-3 et f'(t)=-10t+13
    Après développement et réduction on obtient y=(-10t+13)x+5t²-3
    Pour savoir s'il existe un ou des points de C_f où la tangente passe par le point C(0,2) ? cela revient simplement à dire que C(0,2) n'appartient à cette tangente que si et seulement si ses coordonnées (0,2) vérifient cette équation autrement dit remplacer x=0 e y=2 pour tomber sur une équation du second degré en t facile à résoudre pour trouver le ou les valeurs solutions de t



    Réponse : Polynôme dérivés de crnt79, postée le 23-02-2021 à 17:14:19 (S | E)
    je remplace alors t par 2 et x par 0 ?



    Réponse : Polynôme dérivés de wab51, postée le 23-02-2021 à 17:17:41 (S | E)
    non .Remplacer x par 0 et y par 2 dans l'équation y=(-10t+13)x+5t²-3 .



    Réponse : Polynôme dérivés de crnt79, postée le 23-02-2021 à 17:20:46 (S | E)
    mais si l’on remplace x par 0 alors (-10t + 13) disparaît ? et cela donnerait l’équation suivante : 5t ² -5 = 0 ?




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