Convergence d'une suite

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Convergence d'une suite
Message de kadfr posté le 15-04-2021 à 16:12:31 (S | E | F)
Bonjour

Soit la suite (Un), n entier , Un=intégrale de 0 à 1 de x^n/(1+x^n)dx

1°) Démontrer la convergence de (Un).
2°) Déterminer sa limite.

Réponse :
1°) La fonction inverse 1/(1+x^n) est décroissante et x^n >=0 donc la fonction x^n/(1+x^n) est décroissante.
0<= x^n <= 1
1<=1+x^n<=2
1/2<= 1/(1+x^n) <=1
Multiplication des inégalités : 0 <= x^n/(1+x^n) <= 1
La fonction x^n/(1+x^n) est décroissante et minorée par 0 donc (Un) est convergente.

2°) je conjecture que lim Un=0 mais comment le démontrer ?
Merci d’avance.

Réponse : Convergence d'une suite de bibi29, postée le 15-04-2021 à 16:55:19 (S | E)
Bonjour,
1) Pour prouver la convergence, généralement on fait Un+1-Un et on étudie le signe. Mais tu trouves le bon résultat (suite décroissante)
2) Calcul Un + Un+1, ce qui te permet d'encadrer Un et de conclure

Réponse : Convergence d'une suite de kadfr, postée le 15-04-2021 à 19:15:59 (S | E)
bonjour,

Oui, Un+U(n+1)=Un donc U(n+1)=0
Et là on peut conclure que lim Un=0 ?
Si je pose cette question c'est que je n'ai jamais vu cette méthode.

Réponse : Convergence d'une suite de tiruxa, postée le 15-04-2021 à 19:34:39 (S | E)
Bonjour

Kadfr ton encadrement est correct mais on ne peut pas en déduire que cette fonction est décroissante sur [0;1] pour la bonne raison qu'elle ne l'est pas !
C'est la suite qui est décroissante pas la fonction f telle que f(x)=x^n/(1+x^n)
En effet par ex : f(0)=0 et f(1)=1/2 !

Comme l'a dit Bibi29 il faut calculer u(n+1)-u(n) et démontrer que c'est négatif.

Pour la question 2) c'est le théorème dit des "deux gendarmes" qui permet de conclure, car pour tout réel x compris entre 0 et 1 on a :
0<= f(x) <= x^n (grâce à un des encadrements que tu as trouvés)

ce qui permet d'encadrer l'intégrale et de conclure.

Réponse : Convergence d'une suite de kadfr, postée le 18-04-2021 à 11:47:57 (S | E)
Bonjour,
Je reprends du début.
Soit f(x)= x^n/(1+x^n)
F’(x)=n*x^(n-1)/(d²) d²=dénominateur
Donc f’(x)>0, donc f est croissante.
0<= x^n <= 1
J’en déduis : 0 <= x^n/(1+x^n) <= 1 car f croissante. Les calculs sont détaillés dans mon premier message.
D’après la linéarité de l’intégrale : intégrale(0) dx<=intégrale( x^n/(1+x^n))dx <=intégrale( 1)dx avec 0<=x<=1
Je ne peux rien faire avec cet encadrement.
Mais je ne vois pas comment tu as trouvé cet encadrement : 0<= f(x) <= x^n ?
Et après je peux conclure facilement avec ton encadrement.

Réponse : Convergence d'une suite de tiruxa, postée le 18-04-2021 à 14:16:35 (S | E)
Bonjour,

Tu as écrit : (premier message)
pour tout réel x compris entre 0 et 1, on a ....
1/2<= 1/(1+x^n) <=1

Si on multiplie les membres de cette inégalité par x^n qui est positif, on obtient :

(1/2)x^n <= x^n/(1+x^n) <= x^n

Donc f(x) <= x^n

Ps : Dans ton dernier message il y a une incorrection
0<= x^n <= 1
J’en déduis : 0 <= x^n/(1+x^n) <= 1 car f croissante

En fait c'est 0<= x <= 1
J’en déduis : f(0) <= x^n/(1+x^n) <= f(1) car f croissante sur R+
donc 0 <=f(x)<=1/2 <1

Réponse : Convergence d'une suite de kadfr, postée le 18-04-2021 à 16:55:09 (S | E)
ça y est, j'ai compris.
Dans mon premier message j'ai multiplié les deux inégalité <b>membre à membre:</b>
0<x<1 puis j'élève à la puissance n j'obtiens :0<x^n<1 (1)

La deuxième inégalité:1/2<=1/(1+x^n)<=1 (2)
Puis je multiplie membre à membre ces deux inégalité (1) et (2) j'obtiens:
0 <= x^n/(1+x^n) <= 1 puis j'encadre les intégrales et ça me donne rien comme je l'avais signalé.

Maintenant je comprends qu'il faut tout simplement multiplier l'inégalité (2) par x^n et j'obtiens:
0 <= x^n/(1+x^n) <= x^n puis je calcule la dernière intégrale qui donne 1/(1+n) et la limite de la suite est bien 0 par les gendarmes.

Et bien l'astuce n'était pas facile à trouver.

Merci pour tout.

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