Cours de français gratuitsCréer un test / 1 leçon par semaine
Connectez-vous !

Cliquez ici pour vous connecter
Nouveau compte
4 millions de comptes créés

100% gratuit !
[Avantages]

  • Accueil
  • Accès rapides
  • Imprimer
  • Livre d'or
  • Plan du site
  • Recommander
  • Signaler un bug
  • Faire un lien

  • Comme des milliers de personnes, recevez gratuitement chaque semaine une leçon de français !

    > Recommandés:
    -Jeux gratuits
    -Nos autres sites
       



    Congruence

    Cours gratuits > Forum > Forum maths || En bas

    [POSTER UNE NOUVELLE REPONSE] [Suivre ce sujet]


    Congruence
    Message de aletheia posté le 09-05-2021 à 16:40:47 (S | E | F)
    Bonjour,
    Je suis bloqué sur un exercice et j'aurai besoin d'aide
    Voici le sujet:
    Soient m et n deux nombres entiers naturels premiers entre eux, avec m ≥ 2 et n ≥ 2
    Soient a et b deux nombres entiers relatifs. On considère le système (S): x ≡ a[m]
    x ≡ b[n] où x désigne un nombre entier relatif
    1) a) Montrer qu’il existe deux entiers relatifs u et v tels que mu + nv = 1
    b) Montrer que x0 = anv + bmu est une solution particulière du système (S)
    c) Montrer que tout entier x = x0 + kmn avec k ∈ ℤ est solution du système (S)
    2) a) Montrer que (S) est équivalent au système: x ≡ x0[m]
    x ≡ x0[n]
    b) En déduire l’ensemble des solutions du système (S)

    Merci d'avance pour votre aide


    Réponse : Congruence de tiruxa, postée le 09-05-2021 à 21:44:12 (S | E)
    Bonjour

    Qu'as tu réussi à faire ?

    1a) est un résultat de cours très connu puisque m et n sont premiers entre eux.

    1b) il suffit de remplacer soit nv par 1-mu soit mu par 1-nv

    1c découle assez vite du 1b)

    Pour le 2) on verra ensuite.



    Réponse : Congruence de aletheia, postée le 16-05-2021 à 20:28:28 (S | E)
    Bonjour,
    Voici ce que J’ai donc fait mais je ne suis pas vraiment sûr:
    1)a) Si m et n sont premiers entre eux, alors il existe deux nombres entiers relatifs u et v tels que mu + nv = 1. En effet, si m et n sont premiers entre eux alors leur PGCD est 1 et d’après l’égalité de Bézout, il existe deux nombres entiers relatifs m et n tels que mu + nv = 1.

    1)b)D’après le théorème du lemme chinois, on a (u,v) ∈ Z tel que : mu +nv =1

    Posons x0 = anv + bmu

    On a donc xo ≡ anv[m]

    Or, anv = a – amu, donc x0 ≡ a[m].

    On a aussi : xo ≡ bmu[m]

    Or, bmu = b – bnv, donc x0 ≡ b[m].

    On trouve donc une solution particulère x0.

    1)c) Soit x une solution quelconque. On a donc:

    x-x0 ≡ 0[m] x-x0 ≡ 0[n]

    Donc m divise x-x0 et n divise x-x0

    Or, m+n=1, donc mn divise x-x0

    D’où: x= x0+kmn.

    2)a) Posons x0=anv+bmu

    On a donc :

    x0 ≡ anv[m]
    x0 ≡ bmu[n]

    <=>

    x0+bmu ≡ anv+bmu[m]
    x0+anv ≡ anv+bmu[n]

    <=>

    x ≡ x0[m]
    x ≡ x0[n]

    2)b)Le système (S) revient à prendre(u,v) ∈ Z tel que:

    x=a+mu
    x=b+nv

    On a donc (u,v) ∈ Z tel que :

    x=a+mu
    a+mu=b+nv

    c’est à dire (u,v) ∈ Z tel que :

    x=a+mu
    mu-nv=b-a

    L’équation mu-nv=b-a n’admet des solutions que si m et n divise b-a

    En résolvant l’équation, on trouve u(ou v) et donc x.



    Réponse : Congruence de tiruxa, postée le 16-05-2021 à 21:41:51 (S | E)
    Bonjour

    Au 1°c) on n'en demande pas tant, en fait ce que vous avez fait doit s'utiliser au 2°b)

    Au 1°c) on demande seulement de vérifier que x est solution du système donc que x ≡ a[m] et x ≡ b[n]


    Pour le 2°a) c'est plus simple :
    On sait que x0 ≡ a[m] donc x ≡ a[m] est équivalent à x ≡ x0[m]
    de même pour l'autre congruence

    Dites moi si vous avez compris




    [POSTER UNE NOUVELLE REPONSE] [Suivre ce sujet]


    Cours gratuits > Forum > Forum maths

    Partager : Facebook / Twitter / ... 


    > INDISPENSABLES : TESTEZ VOTRE NIVEAU | GUIDE DE TRAVAIL | NOS MEILLEURES FICHES | Les fiches les plus populaires | Une leçon par email par semaine | Aide/Contact

    > COURS ET EXERCICES : Abréviations | Accords | Adjectifs | Adverbes | Alphabet | Animaux | Argent | Argot | Articles | Audio | Auxiliaires | Chanson | Communication | Comparatifs/Superlatifs | Composés | Conditionnel | Confusions | Conjonctions | Connecteurs | Contes | Contraires | Corps | Couleurs | Courrier | Cours | Dates | Dialogues | Dictées | Décrire | Démonstratifs | Ecole | Etre | Exclamations | Famille | Faux amis | Français Langue Etrangère / Langue Seconde |Films | Formation | Futur | Fêtes | Genre | Goûts | Grammaire | Grands débutants | Guide | Géographie | Heure | Homonymes | Impersonnel | Infinitif | Internet | Inversion | Jeux | Journaux | Lettre manquante | Littérature | Magasin | Maison | Majuscules | Maladies | Mots | Mouvement | Musique | Mélanges | Méthodologie | Métiers | Météo | Nature | Nombres | Noms | Nourriture | Négations | Opinion | Ordres | Orthographe | Participes | Particules | Passif | Passé | Pays | Pluriel | Politesse | Ponctuation | Possession | Poèmes | Pronominaux | Pronoms | Prononciation | Proverbes | Prépositions | Présent | Présenter | Quantité | Question | Relatives | Sports | Style direct | Subjonctif | Subordonnées | Synonymes | Temps | Tests de niveau | Tous/Tout | Traductions | Travail | Téléphone | Vidéo | Vie quotidienne | Villes | Voitures | Voyages | Vêtements

    > NOS AUTRES SITES GRATUITS : Cours mathématiques | Cours d'espagnol | Cours d'allemand | Cours de français | Cours de maths | Outils utiles | Bac d'anglais | Learn French | Learn English | Créez des exercices

    > INFORMATIONS : Copyright - En savoir plus, Aide, Contactez-nous [Conditions d'utilisation] [Conseils de sécurité] [Plan du site] Reproductions et traductions interdites sur tout support (voir conditions) | Contenu des sites déposé chaque semaine chez un huissier de justice | Mentions légales / Vie privée / Cookies.
    | Cours et exercices de français 100% gratuits, hors abonnement internet auprès d'un fournisseur d'accès.