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    Dérivabilité fonction réciproque

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    Dérivabilité fonction réciproque
    Message de safwanito posté le 28-11-2021 à 19:18:41 (S | E | F)
    Bonjour , au secours !
    Je suis bloqué en question 2)b

    Lien internet



    Réponse : Dérivabilité fonction réciproque de chezmoi, postée le 28-11-2021 à 19:50:19 (S | E)
    Bonsoir,

    2b) Commencez par la définition ... lim dx→0 (h(x+dx) – h(x)) /dx = h'(x)...
    évaluez (en fonction de quoi ?)
    ...
    lim X→0+ h'(X)
    ...


    Bonne chance !



    Réponse : Dérivabilité fonction réciproque de flaja, postée le 29-11-2021 à 12:10:18 (S | E)
    bonjour,
    remarque : atan(f(x)) = π/x
    f_reciproque(y) = x(y) = π / atan(y)
    (utile pour vérifier numériquement les résultats)

    Quand on a une forme indéterminée : limite u(x)/v(x) = 0/0,
    il est souvent utile d'utiliser la règle de l'hôpital :
    limite u(x)/v(x) = limite u'(x)/v'(x)
    ( qui s'obtient par un développement limité à l'ordre 1 )



    Réponse : Dérivabilité fonction réciproque de safwanito, postée le 29-11-2021 à 13:29:52 (S | E)
    Bonjour ,
    J'ai pas le droit d'utiliser la règle de l'hopital d'abord car c'est hors programme scolaire.
    De plus, la forme indéterminée qu'on va trouver n'est pas 0/0. C'est en fait : (infini * 0) qu'on essaie de calculer la limite suivante :

    Lim (h(x) - h(0))/x
    x->0+
    = Lim 1/ (f-¹(x)* x)
    x->0+
    Or lim f-¹(x) = + infini
    x->0+

    D'où l'indétermination qui me bloque de determiner la dérivabilité de h à droite en 0. Et d'apres la question qui suive (voir la photo sur le lien), h est dérivable sur le fermé [0, +infini[ donc il parait bien qu'elle doit être dérivable à droite en 0.



    Réponse : Dérivabilité fonction réciproque de wab51, postée le 29-11-2021 à 13:48:24 (S | E)

    Bonjour 

    2-b)Je pense ce qui te pose le problème est la détermination de la limite  de arctan(x)/x quand x tend vers 0+(on tombe sur une forme indéterminer 0/0) .

    Pour lever l'indermination ,personnellement ,mieux "appliquer la méthode du développement limité de arctan(x) en 0 qui est 

    arctan(x)=x-x^3/3 +x^5/5 +...+0(x^2n+1) .

      





    Réponse : Dérivabilité fonction réciproque de wab51, postée le 29-11-2021 à 13:50:15 (S | E)

     





    Réponse : Dérivabilité fonction réciproque de wab51, postée le 29-11-2021 à 14:19:55 (S | E)

     





    Réponse : Dérivabilité fonction réciproque de tiruxa, postée le 29-11-2021 à 14:50:53 (S | E)
    Bonjour

    Pour cette limite on peut aussi changer de variable, en posant X=Arctan x
    On a x=tan X
    x tend vers 0 si et seulement si X tend vers 0

    Donc la limite en 0 de (Arctan x)/x est égale à la limite de X/tanX quand X tend vers 0.

    Or on sait que la limite en 0 de tanx/x est égale à 1, donc la limite en 0 de (Arctan x)/x est 1



    Réponse : Dérivabilité fonction réciproque de safwanito, postée le 29-11-2021 à 20:49:02 (S | E)
    Bonsoir,
    Merci pour vos réponses. Vous m'avez aidé énormément meme si je connaissais pas la fonction réciproque du tan "arctan"
    Bonne nuit et merci.




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