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    Les fonctions

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    Les fonctions
    Message de lucien203 posté le 15-01-2022 à 23:52:03 (S | E | F)
    Soit f l‟application de R* dans R telle que :
    Si x ∈ ] - ∞ , 0 [ ∪ ] 0, 2 [ f (x) = 2 – x - 1/x

    Si x ∈[2, + ∞ [ f (x) = x -2 - 1/x

    1) L‟application f est-elle continue et dérivable sur R* ? Qu‟en
    est-il en particulier au point x = 2 ?
    2) Etudier les variations de f.


    Réponse : Les fonctions de sunland, postée le 16-01-2022 à 13:21:30 (S | E)
    Bonjour Lucien203
    Pourrais-tu préciser ta question ? Sur quoi peines-tu et pourquoi ?
    Il faut bien entendu se poser des questions sur les limites à gauche et à droite. Que se passe-t-il lorsque x tend vers zéro par valeurs positives (en restant strictement supérieur à zéro) ? Et par valeurs négatives ?
    Idem pour les limites quand x tend vers 2 en restant strictement inférieur à 2 ? et lorsque x tend vers 2 en restant supérieur à 2 ?

    -------------------
    Modifié par sunland le 16-01-2022 13:22



    -------------------
    Modifié par sunland le 16-01-2022 13:23





    Réponse : Les fonctions de wab51, postée le 16-01-2022 à 13:25:08 (S | E)
    Bonjour
    Certes ,vous posez un énoncé d'exercice mais dites au moins ce que vous vouliez savoir en commençant par présenter ce que vous avez essayé de faire ou par des questions qui vous bloquent . Ainsi, vous permettez d'encourager celui qui cherche à vous aider pour vous répondre et vous accompagner .
    Pour commencer, voulez vous répondre à ses questions :
    1)Domaine de définition de f ?
    2) f est elle continue en 0 ? en 2 ?
    3) f est elle dérivable en 0 ? en 2 ?



    Réponse : Les fonctions de wab51, postée le 16-01-2022 à 15:45:16 (S | E)
    Voici un plan de travail d'une marche à suivre avec quelques orientations :
    1)Déterminer le domaine de définition D_f de f
    2) Continuité de f en 0 et en 2 :
    Rappel de la définition de la continuité d'une fonction en un point x_0 : f définie en x_0 (x_0 ϵ D_f) continue en x_0 si et seulement si f admet une limite finie en x=x_0
    2-a) Il suffit d'appliquer la définition et voir si f est continue en ses deux points 0 et 2 puis conclure
    3) Dérivabilité de f en 0 et 2 :
    Rappel de la définition de la dérivée d'une fonction en point x_0 : f est dérivable en x_o si lim [f(x_0 + h)-f(x_0)]/h =(limite finie L, quand h tend vers 0 .
    *Etant donné que f est définie différemment de chaque coté de 2 calculer la limite à gauche et à droite ,puis conclure . Bonne continuation .



    Réponse : Les fonctions de sunland, postée le 16-01-2022 à 17:27:43 (S | E)
    A noter que l'étude de la continuité en zéro n'est pas demandée. Mais il faut tout de même s’intéresser aux limites de f en zéro, ne serait-ce que pour remplir un tableau de variations.



    Réponse : Les fonctions de wab51, postée le 16-01-2022 à 18:39:08 (S | E)
    Oui, parfaitement sunland ,mais voir le pourquoi au plus d'une phrase ne serait peut-être aussi que plus confortablement rassurant.



    Réponse : Les fonctions de tiruxa, postée le 16-01-2022 à 21:44:59 (S | E)
    Bonjour

    Juste une remarque qui peut permettre d'alléger les calculs:

    En fait f est telle que pour tout x non nul, f(x)=|x-2|-1/x

    On peut se contenter d'étudier la continuité et la dérivabilité en 2 de la fonction g telle que g(x)=|x-2|.

    Si cette remarque vous intéresse Lucien je peux expliquer davantage.



    Réponse : Les fonctions de wab51, postée le 17-01-2022 à 21:30:18 (S | E)

    Bonsoir 

    Après six messages , le concerné n'a pas encore soufflé un mot donc aucune idée pour savoir au moins quelles sont déjà ses pensées où du moins jusqu'où il peut aller . Quand à la piste de raisonnement ,je pense qu'elle a été bien lue mais elle a été aussi mal comprise en supposant qu'elle va dans le sens d'un développement  lourd pour un  calcul inutile ,plus spécialement pour "la continuité et la dérivabilité de f en 0 ".  C'est faux . En fait ,les outils à cette question étaient déjà préservés par respect d' attendre une réaction d' une réponse du candidat . Quels étaient donc encore ses éléments cachés de ce raisonnement ? 

    - f qui est la somme de deux fonctions usuelles très bien connues (affine et inverse ) est le prolongement par continuité d'une fonction g, et par conséquent la réponse serait évidente ,  une réponse par justification qui ne s'appuierait sur aucun calcul et la méthode de calcul viendrait à l'aide uniquement pour la réponse à la question de la continuité et de la dérivabilité de la fonction f en particulier en 2. Je ne pourrais dire plus sinon j'aurais illégalement pris la place du véritable concerné .C'est antipédagogique . Merci et bonne chance.


    -------------------
    Modifié par wab51 le 17-01-2022 21:35





    Réponse : Les fonctions de wab51, postée le 17-01-2022 à 22:12:11 (S | E)

    Cette fonction  g est définie différemment de chaque coté de x=2   :

     

    La fonction g est prolongeable par continuité en 2 . La fonction f est le prolongement par continuité de g en x=2 : 

     

     






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