[Maths]limite d'une fonction (1)

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[Maths]limite d'une fonction
Message de ddyou2002 posté le 25-09-2007 à 20:21:57 (S | E | F | I)
pouvez vous m'aider de trouver la limite quand x tend vers 0 de (tan(x)-x)/(sin(x)-x)

merci de votre aide

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Modifié par magstmarc le 25-09-2007 22:31

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Réponse: [Maths]limite d'une fonction de ag_cia, postée le 25-09-2007 à 20:34:05 (S | E)
je te conseille d'utiliser les développements limités

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Réponse: [Maths]limite d'une fonction de TravisKidd, postée le 25-09-2007 à 20:36:52 (S | E)
Use L'Hôpital's Rule: if both |f(x)| and |g(x)| tend to 0, or if they both tend to infinity, then lim f(x)/g(x) = lim f'(x)/g'(x).

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Modifié par magstmarc le 25-09-2007 22:40
Les dérivées tendent vers zéro aussi...on peut itérer le procédé et passer aux dérivées secondes mais il faut un peu transpirer
Je pense que les développements limités sont bien adaptés ici :
tan x = x + x³/3 + o(x⁴)
sinx = x - x³/6 + o(x⁴)
d'où un équivalent du quotient.

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Réponse: [Maths]limite d'une fonction de marie11, postée le 25-09-2007 à 23:34:54 (S | E)
Bonsoir.

Les développements limités ....Quelle aubaine !!

Voici un lien intéressant et la solution de votre problème.

Lien Internet


Cliquez sur développements limités

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Réponse: [Maths]limite d'une fonction de TravisKidd, postée le 26-09-2007 à 00:12:07 (S | E)
Je suppose que tout depend de quelle application on apprend en classe, mais la Règle de L'Hôpital ne cause pas trop de transpiration:

tan(x)-x --> sec²(x) - 1
sin(x)-x --> cos(x) - 1

Les deux derivées tendant vers 0, on itère comme le dit mag:

sec²(x) - 1 --> 2sec²(x)tan(x) (from The Chain Rule! )
cos(x) - 1 --> -sin(x)

et une fois encore:

2sec²(x)tan(x) --> 4sec²(x)tan²(x) + 2sec⁴(x)
-sin(x) --> -cos(x)

Maintenant tout est clair.

Au lieu de la dernière iteration, on peut mettre tan = sin/cos puis annuler les sin pour obtenir la solution plus vite.

Si l'on a les développements limités pour sin et tan en main, et si l'on est permis de les utiliser sans justification, alors bon ce serait plus facile à partir de là. Mais les trouver n'est rien de plus facile que le processus ci-dessus (et un peu plus difficile, en effet, considerant le petit devoir de diviser par les factorielles et l'impossibilité d'annuler en cours).

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