logique et raisonnement

[Maths]logique et raisonnement (1)

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[Maths]logique et raisonnement
Message de mimi1727 posté le 20-03-2008 à 15:17:39 (S | E | F)
bonjour,
pouvez-vous m'aider dans ce problème car je n'ai aucune idée comment faire!
Voici le problème:

Les bougies de l'émir

L'émir Hilfik a conservé les bougies de ses gâteaux d'anniversaire,depuis son premier anniversaire jusqu'à aujourd'hui,sauf celles d'une année où il était trop malade pour fêter quoi que ce soit.
Il possède 1990 bougie.
Quel âge avait-il lorsqu'il n'a pu fêter son annivesaire?

Merci d'avance !!!!!!!!!!

Réponse: [Maths]logique et raisonnement de fr, postée le 20-03-2008 à 15:34:19 (S | E)
Bonjour mimi1727,

Je suppose que vous êtes en train d'étudier les suites et les séries.

En effet, le nombre de bougies sur son gâteau d'anniversaire (donc l'âge) augmente chaque année de 1.
On a donc une suite ...

La somme des termes de cette suite (= le "stock" des bougies) vaut (en fonction de son âge = n): ...
Il convient alors de trouver le premier terme de cette série qui est supérieur au nombre total de bougies (1990).
La différence entre les 2 vous donnera la réponse ...

Je vous laisse compléter les '...' et postez nous votre avancement.

Réponse: [Maths]logique et raisonnement de mimi1727, postée le 21-03-2008 à 13:26:55 (S | E)
voici ma réponse, il n'a pas fêté son 25ème anniversaire
et il a 63 ans
merci de me répondre !

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Modifié par magstmarc le 30-03-2008 13:31

Réponse: [Maths]logique et raisonnement de marie11, postée le 21-03-2008 à 13:33:30 (S | E)
Bonjour.

C'est presque la bonne réponse.
Cependant, il faut donner une justification de votre réponse.
Si vous aviez fait une vérification vous vous seriez rendu compte de votre erreur.

Réponse: [Maths]logique et raisonnement de manteck, postée le 25-03-2008 à 17:55:50 (S | E)
je crois que vous etudier les suites et les series. la solution est choisir un inconnu representant lanne quil na pa feté

Réponse: [Maths]logique et raisonnement de mimi1727, postée le 27-03-2008 à 18:47:20 (S | E)
Moi j'aurais procédé de la façon suivante:
1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=55
11+..............+20=155
21+..............+30=255
31+..............+40=355
41+..............+50=455
51+..............+60=555

55+155+255+355+455+555=1830 bougies
L'émir en a seulement 1990.
Donc: 1830+61=1891
1891+62=1953
1953+63=2016

2016-1990=26

Il n'a pas fêté son 26ème anniversaire.

Merci de me répondre

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Modifié par magstmarc le 30-03-2008 13:36

Réponse: [Maths]logique et raisonnement de everestpako, postée le 27-03-2008 à 20:11:44 (S | E)
Ton raisonnement est juste mais il serait intéressant de trouver la suite de ta somme 1+2+3+...+(n-1)+n.
U1=1=(1*2)/2 , U2=3=(2*3)/2 , U3=6=(3*4)/2 , ... , Un=1+2+..+n=n(n+1)/2
tu peux le démontrer par récurrence (le démontrer directement est un peu plus compliqué, je ne connais pas ton niveau)
et bien entendu u63=(63*64)/2=2016 trouvé par dichotomie.
En posant f(x)=x(x+1)/2-1990 = 0.5x^2+0.5x-1990
Une des racines sera compris entre 62 et 63 le terme recherché dans ta suite, toujours par dichotomie,plus mathématique mais plus lourd.
Je n'ai que peu de temps mais dans la journée demain je veillerais à trouver un raisonnement astucieux (si bien sur je le trouve) je te l'enverrais.
En attendant travaille sur n(n+1)/2=1+2+..+(n-1)+n
Bon travail
Cordialement, Pascal

Réponse: [Maths]logique et raisonnement de marie11, postée le 28-03-2008 à 12:55:07 (S | E)
Bonjour.

Voici la solution que je propose.

On suppose connue la formule $S_n = 1+2+3....+n = \frac{n(n+1}{2}$
Soit n l'âge de l'émir et x l'âge qu'il avait lorsqu'il n'a pas fêté son anniversaire. (x ≤ n)
alors on doit avoir :
S_n - x = 1990
Soit
n(n+1) = 2(1990 + x)= 3980 + 2x
or
n²< n(n+1)<(n+1)²
Il faut donc encadrer 3980 + 2x par deux carrés consécutifs.
On trouve facilement 3969 = 63² et 4096 = 64²
n = 63
n(n+1) = 4032
4032 = 3980 + 2x <══> 2x = 4032 - 3980 = 52 <══> x = 26.

Vérification :
S₆₃ = 63 x 32 = 2016 (nombres de bougies qu'il aurait dû utiliser s'il avait fêté tous ses anniversaires)
et
2016 - 26 = 1990

Conclusion :
l'Émir a 63 ans et il n'a pas fêté son 26^ème anniversaire.

Réponse: [Maths]logique et raisonnement de marie11, postée le 28-03-2008 à 13:44:06 (S | E)
Bonjour everstpako.

Bien sûr on peut démontrer par récurrence la formule que j'ai supposée connue.
Mais pourquoi compliquer les choses alors qu'elles sont si simples.
La légende veut que ce soit Gauss (1777- 1855) qui ait inventé cette formule.
Comme tous les génies le petit « Gosse » était très turbulent en classe. L'enseignement que dispensait son maître ne l'intéressait guère, et il perturbait souvent le cours. Il avait seulement 8 ans.
Alors un jour, son maître agacé par son attitude et pensant l'occuper un certain temps, lui donna à calculer la somme des 100 premiers nombres.
Le maître fut sidéré quand le petit Carl Friedrich lui annonça le résultat dans la minute qui suivit: 5050 !!
Comment avait-il fait ?
Très simplement :
il avait écrit en ligne
S = 1+2+3+4 +........+100
et puis il avait écrit cette somme en commençant par la fin (on dit maintenant que l'addition est commutative)
S = 100+99+98+97 +.......+1
et il avait remarqué qu'il pouvait faire des groupements de même valeur
(100+1) ; (99+2) ; (98+3)..........
Comme il y avait 100 groupements de valeur 101 il avait obtenu 10100 et ce nombre représentait le double de la somme cherchée. Il avait donc divivisé 10100 par 2 pour annoncer glorieusement à son maître :
« J'ai trouvé 5050 »

Formule que l'on généralise facilement.

Réponse: [Maths]logique et raisonnement de mimi1727, postée le 30-03-2008 à 12:24:54 (S | E)
Je vous remercie à tous de m'avoir aider en math

Vous êtes les

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