simplification trigonométrique

[Maths]simplification trigonométrique (1)

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[Maths]simplification trigonométrique
Message de tilt77 posté le 22-04-2008 à 18:40:36 (S | E | F)
Bonjour.

Suite a un exercice sur les intégrales ;a la fin je trouve
F(X)=(3/rac2)arctan((tan(x/2))/rac2))-(4/rac3)arctan((tan(x/2))/rac3))
je dois calculer F(pi), comment puis je simplifier cette expression?

merci

Réponse: [Maths]simplification trigonométrique de tilt77, postée le 22-04-2008 à 19:02:27 (S | E)
l'integrale a calculer est

F(x) = (integrale de 0 a x) de cost/((2 + cost)(3 + cost))dt

Réponse: [Maths]simplification trigonométrique de marie11, postée le 22-04-2008 à 19:03:44 (S | E)
Bonjour.

Par définition :

y = tanx <══> x = arctany

donc

x = arctan(tanx)

il s'ensuit que :

arctan(tanθ) = θ

Réponse: [Maths]simplification trigonométrique de tilt77, postée le 22-04-2008 à 19:08:54 (S | E)
bonjour
vouc vouler dire que artan(tan(x/2)/rac2)=(x/2)/rac2
c'a dire arctan (a*tan(x))=ax c'est ça?

Réponse: [Maths]simplification trigonométrique de marie11, postée le 22-04-2008 à 19:40:30 (S | E)
ce n'est pas ce que vous avez écrit !

arctan((tan(x/2))/rac2)) ? Il y a 3 parenthèses ouvrantes et 4 fermantes où est placé &radic2; ?

Réponse: [Maths]simplification trigonométrique de tilt77, postée le 22-04-2008 à 19:41:36 (S | E)
desole pour l'orthographe

Réponse: [Maths]simplification trigonométrique de tilt77, postée le 22-04-2008 à 19:45:46 (S | E)
c'est
tan(x/2) sur racine de deux pour la premiere
et tan(x/2) sur racine de trois

Réponse: [Maths]simplification trigonométrique de marie11, postée le 22-04-2008 à 20:01:48 (S | E)
Il s'agit bien de :

$arctan(\frac{tan\frac{x}{2}}{\sqrt{2}})$

Réponse: [Maths]simplification trigonométrique de tilt77, postée le 22-04-2008 à 20:02:38 (S | E)
oui c'est bien ça

Réponse: [Maths]simplification trigonométrique de marie11, postée le 22-04-2008 à 20:14:48 (S | E)
Revenez à la définition de fonction arctan et remplacez x par π

Réponse: [Maths]simplification trigonométrique de tilt77, postée le 22-04-2008 à 20:29:31 (S | E)

on a:
y = tanx <══> x = arctany

x = arctan(tanx)

par exemple y=a*tanx
est ce que arctan(a*tanx)=ax ?j'ai un doute

Réponse: [Maths]simplification trigonométrique de marie11, postée le 22-04-2008 à 20:44:52 (S | E)
Il n'y a aucun doute a avoir !!

si on pense que :

arctan(a*tanx) = ax
alors
a*tanx = tan(ax).....ce qui est manifestement faux !
2tan(π/4) ≠ tan(π/2)

Réponse: [Maths]simplification trigonométrique de tilt77, postée le 22-04-2008 à 20:51:20 (S | E)
bien sur
mais comment simplifier ces expression j'ai beau chercher
en plus tan(pi/2) n'est pas defini
mais on me demande de calculer f(pi) et j'ai verifier mon calcule de l integrale est bon
on peut simplifier f(x) mais comment?

Réponse: [Maths]simplification trigonométrique de marie11, postée le 22-04-2008 à 23:54:59 (S | E)
Il n'y a pas de simplification à faire, il suffit de calculer .

Je vais prendre un exemple concret et particulier :

soit à calculer :

$arctan(\frac{tan\frac{x}{2}}{\sqrt{3}})$

pour x = 2π/3

si on pose :

$y = arctan(\frac{tan\frac{x}{2}}{\sqrt{3}})$

alors

$tany = \frac{tan\frac{x}{2}}{\sqrt{3}}$

et puisque

$tan\frac{\pi}{3} = \sqrt{3}}$

on obtient

$tany = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

tany = 1
donc y = π/4

Réponse: [Maths]simplification trigonométrique de tilt77, postée le 23-04-2008 à 11:30:35 (S | E)
bonjour
je vois très bien ce que vous expliquer mais dans le cas ou "x=pi"
tan(pi/2) n'est pas défini la est le problème

Réponse: [Maths]simplification trigonométrique de marie11, postée le 23-04-2008 à 12:35:55 (S | E)
Il est légitime d'écrire :

tan (π/2) ≈ +∞

si vous divisez tan (π/2) par un nombre N - non nul - vous obtiendrez toujours:

tan(π/2)/N ≈ + ∞

Donc l'angle dont l'arctan est +∞ est π/2

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Modifié par magstmarc le 23-04-2008 14:46
Non, on ne peut pas écrire cela car :
*tan pi/2 n'est pas défini.
*On peut écrire
limite à gauche en pi/2 de tan x = + infini
limite à droite en pi/2 de tan x = - infini
D'où la nécessité de bien préciser où est x...
*De plus si N est négatif la limite change de signe.
Par contre on peut écrire limite en (+inf) de Arctan x = pi/2

Réponse: [Maths]simplification trigonométrique de tilt77, postée le 23-04-2008 à 12:46:24 (S | E)
merci pour l'aide
je vais faire comme ça

Réponse: [Maths]simplification trigonométrique de magstmarc, postée le 23-04-2008 à 14:41:30 (S | E)
"y = tan x <══> x = arctan y" est vrai seulement si x est dans ) -pi/2 ; pi/2 (
(bornes exclues)
Votre première expression F(x) n'est pas définie en pi.
Le calcul menant à l'expression trouvée n'est pas valable pour x = pi.
On peut considérer la limite pour x tendant vers pi...mais pas dire que c'est F(pi)...sauf si vous avez une intégrale généralisée à calculer

(Il faudrait savoir comment cette fonction est définie, peut-être la valeur en pi découle-t-elle de la définition)

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Modifié par magstmarc le 23-04-2008 14:42
J'ai vu la fonction F, ce n'est pas une intégrale généralisée...vous avez sans doute fait un changement de variable, ce qui amène parfois à une intégrale généralisée. Je ne connais pas votre niveau d'études, est-ce un genre de calcul que vous avez déjà fait ?

Réponse: [Maths]simplification trigonométrique de tilt77, postée le 23-04-2008 à 14:55:49 (S | E)
Bonjour

a la base j'ai:

F(x) = (integrale de 0 a x) de cost/((2 + cost)(3 + cost))dt

j'ai transformer cost en cost = ( 1 - tan²(t/2) ) / ( 1 + tan²(t/2) )

puis j'ai poser u = tan(t/2)

on tombe sur une fraction rationelle que l'on decompose en element simple
quand je resout et j'ai :

F(X)=(3/rac2)arctan((tan(x/2))/rac2))-(4/rac3)arctan((tan(x/2))/rac3))

je dois calculer F(pi) pour finir l exercice

Réponse: [Maths]simplification trigonométrique de magstmarc, postée le 23-04-2008 à 15:08:31 (S | E)
Hello tilt,

J'y reviens...
Votre fonction à intégrer : a-t-on des précisions sur la borne x ?
Est-ce que x est entre -pi et pi ?
En effet l'intégrale donnée peut être définie pour n'importe quel x...

Par contre lors du changement de variable il faudra bien préciser dans quel intervalle se situe chaque variable...on peut éventuellement se ramener à un intervalle plus petit (en utilisant parité, périodicité...)

Réponse: [Maths]simplification trigonométrique de magstmarc, postée le 23-04-2008 à 15:15:38 (S | E)
Hello

Si je suppose que - pi < x < pi
Si on considère l'expression trouvée :
On a une formule qui n'est a priori pas valable en -pi et en pi.
Mais on peut invoquer la continuité de F en pi et passer à la limite...(prolongement par continuité de la deuxième expression)
(mais pas écrire tan(pi/2) )

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Modifié par magstmarc le 23-04-2008 15:18

Réponse: [Maths]simplification trigonométrique de tilt77, postée le 23-04-2008 à 15:26:51 (S | E)
f(x) doit etre calculer pour [0,pi[

puis ce que x apartien a [0,pi[ en faisant le changement de variable u=tan(t/2)
l integrale de f(x) se calcule alors de 0 a tan(x/2)
l'enonce ne donne pas plus de precision.

Réponse: [Maths]simplification trigonométrique de magstmarc, postée le 23-04-2008 à 15:32:30 (S | E)
Le crochet est ouvert en pi...donc le changement de variable se fait bien dans des intervalles où les fonctions sont définies (ouf )
Mais apparemment on te demande un prolongement par continuité en pi.

Réponse: [Maths]simplification trigonométrique de tilt77, postée le 23-04-2008 à 15:37:35 (S | E)
donc calculer une limite en fait

Réponse: [Maths]simplification trigonométrique de tilt77, postée le 23-04-2008 à 15:55:17 (S | E)
donc il n'y a pas moyen de simplifier f(x) c'est ça?

Réponse: [Maths]simplification trigonométrique de magstmarc, postée le 23-04-2008 à 23:59:31 (S | E)
Ca semble difficile à partir de votre formule...
il y a quelques formules avec arctan mais je n'ai pas abouti à grand'chose
Je pense qu'il vaut mieux chercher du côté des limites.

Réponse: [Maths]simplification trigonométrique de tilt77, postée le 24-04-2008 à 11:44:55 (S | E)
merci
le prolongement par continuite en pi est une bonne idee

Réponse: [Maths]simplification trigonométrique de tilt77, postée le 24-04-2008 à 16:50:31 (S | E)
en fait on montre que

F(x) = (integrale de 0 a x) de cost/((2 + cost)(3 + cost))dt

est continue sur R

comme F(X) est continue sur R F(pi) = lim F(x) quand X-->pi

merci pour l'aiguillage.

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